Определение 2 признак равенства треугольников. Третий признак равенства треугольников. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы.

Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. рассмотримΔABC и ΔA 1 B 1 C 1 у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Докажем, что ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместиласьA 1 , а вершины B и B 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Возможны три случая: 1) луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. а)); 2)луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б)); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. в)). Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, поэтому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Следовательно, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Доказать: ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство. Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A →A 1 , а B → B 1 , а С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Рассмотрим случай. луч С 1 С проходит внутри ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С и ΔВ 1 С 1 С - равноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву углов равноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 по первому признаку равенства треугольников.

2.Ромб. Определение, свойства, признаки.

Ромб является разновидностью четырехугольника.

Определение : Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб. АС и ВD – диагонали ромба. Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Свойства :

1) В ромбе противоположные углы равны (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (BО=ОD, AО=ОC)

3) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся его углы пополам. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) (особое свойство)

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 0 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0)

признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

3) если в параллелограмме все стороны равны, то он является ромбом.

Запись на доске.

Свойства :

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1 ) Если ABСD – парал-м, и АС DВ, то – ABСD - ромб.

2) Если ABСD – парал-м, и АС и DВ - биссектрисы, то – ABСD - ромб.

3) Если ABСD – парал-м, и АС=DВ и BC=AD, то – ABСD - ромб.

Задача.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 . Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А 1 В 1 лежат равные углы С и С 1 . Равенство треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1 . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС - со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны ().

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Существует три признака равенства для двух треугольников. В этой статье мы рассмотрим их в виде теорем, а также приведем их доказательства. Для этого вспомним, что фигуры будут равны в том случае, когда они будут целиком накладываться друг на друга.

Первый признак

Теорема 1

Два треугольника будут равными, если две стороны и угол между ними одного из треугольников будут равняться двум сторонам и углу, лежащему между ними в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AB=A"B"$,$AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$ (рис. 1).

Совместим высоты $A$ и $A"$ этих треугольников. Так как углы при этих вершинах равны между собой, то стороны $AB$ и $AC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $A"C"$. Так как эти стороны попарно равны, то стороны $AB$ и $AC$, соответственно, совпадут со сторонами $A"B"$ и $A"C"$, а следовательно и вершины $B$ и $B"$, $C$ и $C"$ будут совпадать.

Следовательно, сторона BC полностью совпадет со стороной $B"C"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.

Теорема доказана.

Второй признак

Теорема 2

Два треугольника будут равными, если два угла и их общая сторона одного из треугольников будут равняться двум углам и их общей стороны в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (рис. 2).

Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по одну сторону от нее. Так как углы при этих сторонах попарно равны между собой, то стороны $AB$ и $BC$ наложатся, соответственно, на лучи $A"B"$ и $B"C"$. Следовательно, и точка $B$ и точка $B"$ будет точками пересечения совмещенных лучей (то есть, к примеру, лучей $AB$ и $BC$). Так как лучи могут иметь только одну точку пересечения, то точка $B$ совпадет с точкой $B"$. Значит, и треугольники будут целиком накладываться друг на друга, что и означает их равенства.

Теорема доказана.

Третий признак

Теорема 3

Два треугольника будут равными, если три стороны одного из треугольников будут равняться трем сторонам в другом.

Доказательство.

Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A"B"C"$, в которых $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ и $BC=B"C"$ (рис. 3).

Доказательство.

Совместим стороны $AC$ и $A"C"$ этих треугольников, так что высоты $B$ и $B"$ будут лежать по разную сторону от нее. Далее будем рассматривать три различных случая полученного после этого расположения этих вершин. Будем их рассматривать на рисунках.

Первый случай:

Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как сумму, получим $∠B=∠B"$

Второй случай:

Так как $AB=A"B"$, то будет верно равенство $∠ABB"=∠AB"B$. Аналогично, $∠BB"C=∠B"BC$. Тогда, как разность, получим $∠B=∠B"$

Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.

Третий случай:

Так как $BC=B"C"$, то будет верно равенство $∠ABC=∠AB"C$

Следовательно, по теореме 1, эти треугольники равны.

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Докажите равенство треугольников на рисунке ниже

>>Геометрия: Третий признак равенства треугольников. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Третий признак равенства треугольников.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Признаки равенства треугольников”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении треугольников с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Из истории математики.
2. Признаки равенства треугольников.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Прямоугольные треугольники.

Из истории математики.
Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Для начала нам необходимо освежить в памяти предыдущие признаки равенства треугольников. И так начнем с первого.

1-ый признак равенства треугольников.

Предмети > Математика > Математика 7 класс

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Второй признак равенства треугольников. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Второй признак равенства треугольников .

Цели урока:

• Изучить второй признак равенства треугольников;
• Уметь применять признак к решению простейших задач;
• Продолжить развитие умений проводить рассуждения и доказательства, выполнять простейшие геометрические построения.

Задачи урока:

• Усвоение материала через практикум и теорию;
• Формирование логического мышления;
• Научиться видеть различие и сходство в доказательствах признаков;
• Пытаться развивать способности обучающихся к самообразованию;
• Формирование умений саморегулирования своей учебно- познавательной деятельности.

Девиз урока:
Ни минуты покоя,
Ни секунды потерь,
Собственные знания
Тщательно проверь.

План урока:

1. Вступительное слово;
2. Повторение;
3. Примеры решения задач;
4. Проверка собственных знаний;
5. Дополнительное творческое задание;
6. Решение задач с практическим содержанием.

Вступительное слово.

ОШИБКУ надо уважать, если она не результат нашего невежества, не порождение нашей лени, не плод невыученных уроков, а только иногда спутница нашего старания в овладении геометрическими знаниями

Повторение.
Вопросы.

1. Что такое треугольник?
2. Какие треугольники называются равными?
3. Как вы понимаете, что такое "признак равенства треугольников"?
4. Сформулируйте первый признак равенства треугольников?
5. Для чего нужны признаки?
6. Обязательно ли каждый раз сравнивать треугольники наложением друг на друга?

Если треугольники равны , то равны их соответственные элементы. (т.к. они совместились при наложении треугольников, и значит равны (опр. Равных фигур)). Следствие: в равных треугольниках:

1. Против соответственно равных сторон лежат равные углы
2. Против соответственно равных углов лежат равные стороны

Признак в математике - то же, что и достаточное условие. В менее строгих науках слово «признак» употребляется как описание фактов, позволяющих (согласно существующей теории и т.п.) сделать вывод о наличии интересующего явления.

Что такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков? Некоторые условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников. Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

Иногда совместить треугольники нет возможности. Что же делать? Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника. Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать.

Примеры решения задач.

Теорема, второй признак равенства треугольников

Файл:T.gif Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.

Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Проверка собственных знаний.

Устные упражнения.

1. Сколько видов треугольников вы знаете? (3)
2. Назвать эти виды (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)
3. Дать определения каждому виду.
4. Каким прибором измеряется градусная мера углов? (транспортиром)
5. Какая фигура называется углом? (образованная двумя лучами)

• 2913 ≈ 2900 (о)
• Найти 1/3 от 36 (12) (ж)
• Найти число, если 1/5­­­­ этого числа = 10 (50) (е)
• 4/9 2 = 8 (г)
• 16 /17: 2 = 8/17 (10) (о)
• 7/8: 2 = 7/16 (в)

Итак, получилось слово – ОЖЕГОВ .
Ожегов Сергей Иванович – один из авторов толкового словаря русского языка. В этом словаре написано значение 80 000 слов русского языка и фразеологических выражений.

• Можно ли изобразить треугольник, у которого два угла тупых?
• А можете ли вы изобразить треугольник, у которого один угол прямой, а другой – тупой?

Вопросы:

1. Что такое второй признак равенства треугольников?
2. Что она гласит?
3. Для чего нужны признаки?
4. Что такое "признак равенства треугольников"?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия"
2. Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений
3. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)
4. Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л. Г.

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав