Метод зачеркивания. Методы регулирования инфляции. Методы построения начального опорного решения. Метод северо-западного угла

Метод вычеркивания позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.

Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет m+n-1 отличную от нуля координату, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы-условия, соответствующие положительным координатам, должны быть линейно независимы. Для этого занятые решением клетки таблицы должны быть расположены так, чтобы из них нельзя было образовать цикл.

Строка или столбец таблицы с одной занятой клеткой не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или в столбце. Следовательно, можно вычеркнуть сначала либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжить их вычеркивание. Если в результате вычеркивания все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов-условий линейно независима, а решение является опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов-условий линейно зависима, а решение не является опорным.

Ниже приведены примеры “вычеркиваемого” (опорного) и ”невычеркиваемого” (неопорного) решений:

;

“вычеркиваемое” “невычеркиваемое”

6. Методы построения начального опорного решения. Метод северо-западного угла.

Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:

Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i,j), подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i,j) требуется поставить перевозку, а i-й поставщик или j-й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.

Теорема4. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.

Доказательство. Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N=m+n-1. на каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через m+n-2 шага в таблице будет занято m+n-2 клетки. В то же время останутся невычеркнутыми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит m+n-2+1=m+n-1.

Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения.

Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.

Графический метод

Графические методики определœения наиболее эффективного проекта являются наименее точными, но наиболее наглядными, в связи с этим их обычно используют в различного рода презентациях. Суть графической методики в том, что каждому рассчитанному и анализированному показателю никакого рейтинга не определяется, но значения показателœей откладываются на графических осях. Для построения символической эффективности на координатной плоскости откладывается столько равноудаленных осœей, по скольким показателям крайне важно сделать вывод, причем этих показателœей не должна быть меньше трех, а оптимально их должно быть как можно больше.

Точки отложения показателœей на плоскостях для прямых показателœей строится из 0, а для обратных – из максимально возможного значения. Максимальные значения по обратным показателям определяются исходя из средних значений по проектам разной направленности. Важно заметить, что для создания промышленных предприятий максимальное значение срока окупаемости 10 лет, для жилого строительства – 6 лет, для создания предприятий, занимающиеся тяжелой металлургией – 12 лет.

По такому показателю как точка безубыточности следует учитывать 2 аспекта:

1. Графически отражается не безубыточный объём производства в единицах продукции, а показатель порога рентабельности, который представляет собой такую выручку, которая полностью погасит постоянные и переменные расходы и приведет предприятие к отсутствию как прибыли, так и убытков.

2. В 0 точке откладывается сумма равная четверти инвестиционных затрат и продвижение по оси осуществляется с масштабом 1=100т.р.

Показатель налоговой нагрузки строится из полутора нормативов, определœенных федеральной налоговой службой (установлены нормальные значения налоговой нагрузки для всœех возможных отраслей деятельности).

Для тех отраслей, где нормальная налоговая нагрузка до 20%: 1 шаг делœения это 1%, а для тех отраслей где больше 20% - 2%.

Для прямых денежных показателœей шаг делœения составляет 1/10 от инвестиционных затрат в проекте. Для прямых процентных показателœей шаг делœения – 0.1% (кроме ВНД, где шаг делœения 5%).

Отложив на координатных осях всœе точки по всœем проектам, линией замыкается каждый проект по отдельности. И наиболее выгодным признается проект с наибольшим удалением точек от центра (если таких проектов несколько, то наиболее приближенный к круговому значению).

Основан на том принципе, что если по всœем имеющимся критериям выбрать наилучший проект невозможно, то крайне важно исключать критерии из расчета.

Изначально в методе вычеркивания применяют участие такие критерии, как срок окупаемости проекта͵ ИДИ, ВНД и ТСП. Для того, что бы вычеркнуть какое либо показатель, крайне важно оценить рейтинг этого критерия. До начала вычеркивания, всœе критерии являются равнозначными, то есть каждому критерию изначально присваивают, то каждому критерию изначально присваивают по 25 баллов рейтинга.

Расчеты начинают с ТСП, определяя на базе чего инвестор установил максимально допустимое для себя значение срока окупаемости.

В случае если оптимальное значение срока окупаемости установлено из крайне важно сти финансирования другого проекта͵ то значимость срока окупаемости увеличивается на 3 балла. И в связи с этим значимость 3 оставшихся показателœей крайне важно сократить на 3 балла, то есть сокращение на 1 балл по каждому показателю. В случае если пятилетний срок окупаемости установлен на базе средних значений срока окупаемости по отрасли, то рейтинг срока окупаемости увеличивается на 1.5 балла, при одновременном снижении рейтинга других показателœей на 0.5 балла по каждой.

В случае если срок окупаемости установлен на другой основе, то рейтинг срока окупаемости и других показателœей не изменяется.

В случае если показатель ВНД находиться пределах суммы уровня инфляции и ставки рефинансирования, то рейтинг ВНД увеличивается на 6 баллов. Одновременно сокращаются рейтинги других показателœей на 2 балла каждый.

В случае если ВНД установлена выше, чем сумма ставки рефинансирования и инфляции, то за каждые 0.5% превышения рейтинг ВНД дополнительно увеличивается на 0.3 балла.

Далее инвестор определяет как крайне важно корректировать рейтинг ТСП. В случае если минимально допустимый показатель ТСП определœен на базе крайне важно сти возврата заемных средств, то рейтинг ТСП увеличивается на 6 баллов, при одновременном сокращении рейтингов остальных показателœей на 2 балла.

В случае если ТСП установлен инвестором на базе договора инвестирования, то есть связан с крайне важно стью вложения полученных средств в другой инвестиционный проект, то рейтинговое значение ТСП увеличивается на 4.5 балла. При одновременном сокращении рейтингов других показателœей на 1.5 балла.

В случае если минимальный показатель ТСП установлен на другой основе, то рейтинг ТСП сокращается на 1.5 балла, а другие увеличиваются на 0.5 балла.

В случае если показатель ИДИ установлен (если проекты имеют одинаковый срок реализации) в размере уровня инфляции, увеличенное с учетом количества лет осуществления проекта͵ то рейтинг ИДИ увеличивается на 3 балла. В случае если ИДИ установлено ниже этого значения, то происходит увеличение рейтинга на 4.5 балла.

После проведения всœех пересчетов инвестор определяет итоговое количество баллов рейтинга после внесения всœех изменений.

1. Инвестор вычеркивает из состава значимых для себя критериев тот, который набрал наименьшее количество баллов.

3. В случае если выделить максимально значимый критерий невозможно, то в расчет вводят дополнительный критерий в виде точки Фишера. Количественный показатель этого критерия не задается, он принимается в расчет лишь для равнозначности и вновь применяется метод вычеркивания, но уже только по трем критериям.

В случае если по итогам новых расчетов невозможно выбрать тот критерий, который является первостепенным, то инвестор может ввести в расчет другие проекты, а может воспользоваться поиском оптимального или идеального решения.

Одним из сложнейших вопросов экономической политики является управление инфляцией. Способы управления ею неоднозначны, противоречивы по своим последствиям. Диапазон параметров для проведения такой политики может быть весьма узок. С одной стороны, требуется сдерживать раскручивание инфляционной спирали, а с другой стороны, необходимо поддерживать стимулы производства, создавать условия для насыщения рынка товарами.

Основными формами стабилизации денежного обращения, зависящими от состояния инфляционных процессов, являются денежные реформы и антиинфляционная политика.

Денежные реформы проводились в условиях металлического денежного обращения. Со второй половины ХХ в. стабилизация денежного обращения как один из важнейших способов восстановления экономики проводится при помощи следующих методов: нуллификации, реставрации (ревальвации), девальвации и деноминации.

Нуллификация означает объявление об аннулировании сильно обесцененной единицы и введение новой валюты.

Деноминация – метод «зачеркивания нулей», т.е. укрупнение масштаба цен.

Антиинфляционная политика – это комплекс мер по государственному регулированию экономики, направленных на борьбу с инфляцией. В ответ на взаимодействие факторов инфляции спроса и инфляции издержек производства оформились две основные линии антиинфляционной политики – дефляционная политика (или регулирование спроса) и политика доходов (или регулирование издержек). Кроме того появилось новое направление – конкурентное стимулирование производства.

Дефляционная политика – это методы ограничения денежного спроса через денежно-кредитный и налоговый механизмы путем:

• снижения государственных расходов,
• повышения процентной ставки за кредит,
• усиления налогового пресса,
• ограничения денежной массы и т.д.

Особенность действия дефляционной политики заключается в том, что она вызывает замедление экономического роста и даже кризисные явления.

Политика доходов предполагает параллельный контроль над ценами и заработной платой путем полного их замораживания или установления пределов их роста. По социальным мотивам этот вид антиинфляционной политики применяется редко.

Конкурентное стимулирование производства включает меры как по прямому стимулированию предпринимательства путем значительного снижения налогов на корпорации, так и по косвенному стимулированию сбережений населения путем снижения подоходного налога.

Модель антиинфляционной политики в ее российском варианте состоит из двух крупных блоков.

Первый блок включает экономические факторы:

• создание эффективной инвестиционной программы;
• формирование стабильной макроэкономической структуры рынка с целью выравнивания диспропорций производства;
• привлечение дополнительных капиталов в производственную сферу.

Второй блок формирует финансовую направленность:

• покрытие бюджетного дефицита с помощью размещения государственных ценных бумаг и отказа от кредитов центрального банка;
• установление регулирующего значения функций налогов (а не только фискальной) в сфере производства;
• резкое снижение эмиссии денег (сверх потребности товарооборота) как наиболее важного денежного инфляционного фактора (хотя с 1994г. правительство не осуществляет эмиссию денег для покрытия дефицита бюджета);
• активная политика доходов, предполагающая согласование и увязку темпа роста зарплаты, доходов и цен под наблюдением и при посредничестве государства (использование опыта Запада о заключении соглашений между правительством, профсоюзами и предприятиями по этим вопросам).

Достижение финансовой стабильности, сокращения дефицита федерального бюджета, обеспечения его финансирования возможно за счет ряда неинфляционных источников:

• повышения собираемости налоговых платежей в бюджет (в том числе за счет существенного сокращения неэффективных налоговых и иных льгот);
• сокращения перечня федеральных целевых программ, что позволит сконцентрировать средства бюджета на наиболее эффективных и социально значимых проектах;
• финансирования регионов из региональных бюджетных расходов, имеющих соответствующую доходную базу.

Выполнение этих условий антиинфляционной стратегии способствует достижению таких основных социальных и экономических целей, как:

• ограждение социальных интересов народа, в первую очередь его малообеспеченных слоев;
• сохранение экономического и научно-технического потенциала страны;
• создание стимулов для производственной в первую очередь инвестиционной деятельности;
• формирование рыночной конкурентной среды.

Основная задача экономических реформ заключается в сложной структурной перестройке российской экономики и прежде всего в активизации инвестиционной политики.

Задача №4. Увеличению числа транзакций:

Какие призывы к действию могут быть? Пример: «Звоните прямо сейчас», «Узнайте подробности на нашем сайте», «Узнайте больше, позвонив по телефону…».

P.S. Если вы просто прочитали эту статью, и не внедрили в своем предприятии ни одного из указанных способов увеличения , то вы потратили свое время зря.

Если вы собираетесь внедрить в своей организации 2-3 наиболее понравившихся вам способа повышения продаж, тогда вас ждут хорошие результаты.

Если вы решили использовать каждый из описанных здесь способов, тогда проблема складских запасов для вас перестанет существовать. И вы забудете о том, что когда-то этот вопрос для вас был настолько актуален.

P.P.S. Что такое прибыльный завод? Это предприятие, которое осознает, какое место на рынке занимает его продукция, и грамотно ее сбывает! Работа со сбытом - та же лидогенерация. Анализ воронки продаж, онлайн-маркетинг. Все то же самое!

Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:
1) если a i < b j то х ij = а i , и исключается поставщик с номером i ,
x im = 0, m = 1, 2, ..., n , m ≠j, b j ’=b j - a i
2) если a i > b j то х ij = b j , и исключается потребитель с номером j , x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= a i - b j ,
3) если a i = b j то х ij = a i = b j , исключается либо поставщик i , x im = 0, m= 1,2, ..., n, m≠j, b j ’=0 , либо j -й потребитель, x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= 0 .
Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i, j) , подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i, j) требуется поставить перевозку, а i -й поставщик или j -й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно k+ n- 1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам линейно независимы.
□ Теорема. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.
Доказательство . Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N = k+ n-1 . На каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через k+ n– 2 шага в таблице будет занято k+ n– 2 клетки. В то же время останутся невычеркнуты-ми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит
k + n - 2 +1 = k + n– 1.
Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения. ■
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.
Пример . Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой представлены в следующей таблице

a i b j	150	200	100	100
100	1	3	4	2
250	4	5	8	3
200	2	3	6	7

Решение. Распределяем запасы 1 -го поставщика. Так как его запасы a 1 = 100 меньше запросов 1 -го потребителя b 1 = 150 , то в клетку (1, 1) записываем перевозку х 11 = 100 и исключаем из рассмотрения 1 -го поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b’ = b 1 - а 1 = 150 - 100 = 50 .
Распределяем запасы 2 -го поставщика. Так как его запасы а 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1 -го потребителя b 1 ’= 50 , то в клетку (2, 1) записываем перевозку х 21 = 50 и исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя. Определяем оставшиеся запасы 2 -го поставщика а 2 = а 2 - b 1 ’ = 250 -50=200. Т.к. а 2 ‘= b 2 =200, то в клетку (2, 2) записываем х 22 = 200 и исключаем по своему усмотрению либо 2 -го поставщика, либо 2 -го потребителя. Пусть исключили 2- го поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы 2 -го потребителя b 2 "= b 2 - а 2 " = 200 - 200 = 0 .
Распределяем запасы 3 -го поставщика. Так как а 3 > b 2 (200 > 0), то в клетку (3, 2) записываем х 32 = 0 и исключаем 2 -го потребителя. Запасы 3-го поставщика не изменились a 3 ’=a 3 -b 2 ’=200 - 0 = 200 . Сравниваем а 3 " и b 3 (200 > 100), в клетку (3, 3) записываем х 33 = 100 , исключаем 3 -го потребителя и вычисляем а 3 " = а 3 "-b 3 = 200 - 100 = 100 . Так как a 3 "" = b 4 , то в клетку (3, 4) записываем х 34 = 100 . Ввиду того, что задача с правильным балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.
Результаты построения опорного решения приведены в таблице:

	150	200	100	100
100	100
250	50	200
200		0	100	100

Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно быть равно N = k +n - 1 = 3 + 4- 1=6 . В нашей таблице занято шесть клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым»:
Следовательно, векторы-условия, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение является опорным.

Метод минимальной стоимости

Метод минимальной стоимости прост, он позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C={c ij }, i=1,2, ..., k, j=1,2, ..., n . Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости min {с ij} } , и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую min {с ij }, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик, еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда oт данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.
□ Теорема . Решение транспортной задачи, построенное методом минимальной стоимости, является опорным. ■
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Пример . Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:

	4 0	6 0	8 0	6 0
60	1	3	4	2
80	4	5	8	3
100	2	3	6	7

Решение . Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее было выбирать минимальные стоимости, вычеркивать строки и столбцы:
Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость с 11 = 1 , отмечаем ее кружочком. Это стоимость перевозки груза от 1 -го поставщика 1 -му потребителю. В соответствующую клетку (1, 1) записываем максимально возможный объем перевозки х 11 = min {a, A,} = min {60, 40} =40 .
Таблица 6.6

	40	60	80	60
60	40			20
80			40	40
100		60	40

Запасы 1 -го поставщика уменьшаем на 40 , т.е. a 1 ’= a 1 -b 1 = 60 - 40.= = 20 . Исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя, так как его запросы удовлетворены. В матрице, С вычеркиваем 1 -й столбец.
В оставшейся части матрицы С минимальной является стоимость с 14 = 2 . Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1 -го поставщика к 4 -му потребителю, равна x 14 =min{a 1 ’,b 4 }= min{20,60} = 20 . В соответствующую клетку таблицы записываем перевозку х 14 =20 - Запасы 1 -гo поставщика исчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычёркиваем первую строку. Запросы 4 -го потребителя уменьшаем на 20 , т.е. b 4 " = b 4 - a 1 "=60-20= 40.
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость с 24 =с 32 =3 . Заполняем одну из двух клеток таблицы (2, 4) или (3, 2) . Пусть в клетку (2, 4) записываем х 24 = min{а 2 , b 4 } = min {80, 40} = 40 . Запросы 4 -го потребителя удовлетворены, исключаем его из рассмотрения» вычеркиваем четвертый столбец в матрице С. Уменьшаем запасы 2 -го поставщика а 2 ’ = а 2 - b 4 = 80 - 40 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min{с ij } = с 32 = 3 . Записываем в клетку таблицы (3,2) перевозку х 32 =min {а 3 b 2 } = min {100, 60} = 60 . Исключаем из рассмотрения 2 -го потребителя, а из матрицы С второй столбец. Вычисляем а 3 ’= а3-b 2 = 100 - 60 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min {с ij }= с 33 = 6 . Записываем в клетку таблицы (3,3) перевозку x 33 = min {а 3 ",b 3 } = min {40, 80} = 40 . Исключаем из рассмотрения 3 -го поставщика, а из матрицы С третью строку. Определяем b 3 " = b 3 - а 3 " = 80 - 40 = 40 . В матрице С остается единственный элемент с 23 = 8 . Записываем в клетку таблицы (2, 3) перевозку х 23 = 40 .
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N = k+ n- 1=3+4-1=6 . Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X :
Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.

Переход от одного опорного решения к другому

В транспортной задаче переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Перевозка загружается в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение.
□ Теорема (о существовании и единственности цикла). Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.
Доказательство . Опорное решение занимает N = k + n- 1 клеток таблицы, которым соответствуют линейно независимые векторы-условия. Согласно доказанной выше теореме ни одна часть занятых клеток не образует цикл. Если же к занятым клеткам присоединить одну свободную, то соответствующие им k+ n векторов линейно зависимы, и по той же теореме существует цикл, содержащий эту клетку. Предположим, что таких циклов два (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), и (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1), -Тогда, объединив клетки обоих циклов без свободной клетки (i 1 ,j 1), получим последовательность клеток (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1) которые образуют цикл. Это противоречит линейной независимости векторов-условий, образующих базис опорного решения. Следовательно, такой цикл единственный.
Означенный цикл.
Цикл называется означенным, если его угловые клетки пронумерованы по порядку и нечетным клеткам приписан знак «+», а четным - знак «-».
Сдвигом по циклу на величину θ называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на θ и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на θ .
□ Теорема . Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то при сдвиге по любому циклу, содержащему одну свободную клетку, на величину получится опорное решение.
Доказательство . В таблице транспортной задачи, содержащей опорное решение, выберем свободную клетку и отметим ее знаком «+». По теореме 6.6 для этой клетки существует единственный цикл, который содержит часть клеток, занятых опорным решением. Пронумеруем клетки цикла, начиная с клетки, отмеченной знаком - «+». Найдем осуществим сдвиг по циклу на эту величину
В каждой строке и в каждом столбце таблицы, входящих в цикл, две и только две клетки, одна из которых отмечена знаком «+», а другая - знаком «-». Поэтому в одной клетке объем перевозки увеличивается на θ , а в другой уменьшается на θ , при этом сумма всех перевозок в строке (или столбце) таблицы остается неизменной. Следовательно, после сдвига по циклу по-прежнему и запасы всех поставщиков вывозятся полностью, и запросы всех потребителей удовлетворяются полностью. Так как сдвиг по циклу осуществляется на величину все объемы перевозок будут неотрицательными. Следовательно, новое решение является допустимым.
Если оставить свободной одну из клеток с нулевым объемом перевозки, соответствующих , то число занятых клеток будет равно N=k+n-1 . Одна клетка загружается (отмеченная знаком «+»), одна - освобождается. Так как цикл единственный, то удаление из него одной клетки разрывает его. Цикл из оставшихся занятых клеток образовать нельзя, соответствующие векторы-условия линейно независимы, а решение является опорным.