Формулы Френеля

Фо́рмулы Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой электромагнитной волны при прохождении через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления . Названы в честь Огюста Френеля , французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением .

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса . В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны , большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s p

Формулы Френеля для s -поляризации и p -поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера ; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s -Поляризация

s -Поляризация - это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч).

где - угол падения, - угол преломления, - магнитная проницаемость среды, из которой падает волна, - магнитная проницаемость среды, в которую волна проходит, - амплитуда волны, которая падает на границу раздела, - амплитуда отражённой волны, - амплитуда преломлённой волны. В оптическом диапазоне частот с хорошей точностью и выражения упрощаются до указанных после стрелок .

Углы падения и преломления для связаны между собой законом Снеллиуса

Отношение называется относительным показателем преломления двух сред.

Обратите внимание, коэффициент пропускания не равен , так как волны одинаковой амплитуды в разных средах несут разную энергию.

p -Поляризация

p -Поляризация - поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

где , и - амплитуды волны, которая падает на границу раздела, отражённой волны и преломлённой волны, соответственно, а выражения после стрелок вновь соответствуют случаю .

Коэффициент отражения

Коэффициент пропускания

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и пропускания для p - и s -поляризованных волн. Для нормального падения

Примечания

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. - М .. - Т. IV. Оптика.
• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - «Наука», 1973.
• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН . - 1999. - Т. 169. - С. 1025.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Рейд, Фиона
• Баслаху

Смотреть что такое "Формулы Френеля" в других словарях:

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломлённой световых волн, возникающих при прохождении света через границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим хар кам падающей волны. Установлены… … Физическая энциклопедия

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют амплитуды, фазы и поляризации отраженной и преломленной плоских волн, возникающих при падении плоской монохроматической световой волны на неподвижную плоскую границу раздела двух однородных сред. Установлены О.Ж. Френелем в 1823 … Большой Энциклопедический словарь

Френеля формулы - определяют амплитуды, фазы и поляризации отражённой и преломлённой плоских волн, возникающих при падении плоской монохроматической световой волны на неподвижную плоскую границу раздела двух однородных сред. Установлены О. Ж. Френелем в 1823. * *… … Энциклопедический словарь

ФРЕНЕЛЯ ИНТЕГРАЛЫ - специальные функции Ф. и. представляют в виде рядов Асимптотич. представление при больших х: В прямоугольной системе координат (х, y)проекциями кривой где t действительный параметр, на координатные плоскости являются Корню спираль и кривые (см … Математическая энциклопедия

Френеля формулы - определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломленной световых волн, возникающих при прохождении света через неподвижную границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим характеристикам… … Большая советская энциклопедия

ФРЕНЕЛЯ ФОРМУЛЫ - определяют амплитуды, фазы и поляризации отражённой и преломлённой плоских волн, возникающих при падении плоской монохроматич. световой волны на неподвижную плоскую границу раздела двух однородных сред. Установлены О. Ж. Френелем в 1823 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Уравнения Френеля - Переменные, используемые в уравнениях Френеля. Формулы Френеля или уравнения Френеля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой волны при прохождении света (и вообще электромагнитных волн) через плоскую границу раздела двух… … Википедия

Свет* - Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… …

Свет - Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Френель, Огюстен Жан - Огюстен Жан Френель Augustin Jean Fresnel Огюстен … Википедия

Поляризованный и естественный свет. Плоская волна называется линейнополяриз о ванной или плоскополяризованной) если колебания вектора Й происходят в одной плоскости, перпендикулярной фронту волны (ее называют плоскостью поляризации волны). Монохроматическая плоская волна либо линейно поляризована, либо поляризована по эллипсу или по кругу (см. разд. 4.5). Эллиптически поляризованная волна представляет собой сумму двух взаимно пер», пендикулярных плоских волн, между колебаниями которых имеется

разность фаз. Естественный свет, испущенный нагретыми телами, является неполяризованным, поскольку направление колебаний вектора Р в каждой точке быстро и хаотически меняется. Смесь естественного и поляризованного света называется частично поляризованным светом.

Поляризатором называется устройство, поглощающее свет, поляризованный в одной плоскости, но пропускающее свет, поляризованный в перпендикулярной плоскости. Плоскость поляризации прошедшего света называют плоскостью пропускания поляризатора. Если естественный свет пропустить через поляризатор, то он станет линейно поляризованным, а его интенсивность уменьшится в два раза (если нет поглощения в плоскости пропускания поляризатора). Если линейно поляризованный свет интенсивностью пропустить через поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол а с плоскостью колебаний световой волны, то интенсивность прошедшей волны будет составлять

(закон Малюса). Объясняется это тем, что линейно поляризованный свет с амплитудой представляет собой сумму двух линейно поляризованных волн: волна, поляризованная в плоскости пропускания (ее амплитуда равна , пройдет через поляризатор без изменений, а вторая волна будет поглощена.

Отражение и преломление волн. Формулы Френеля.

Интенсивность и поляризация отраженной и преломленной волн зависят от того, как поляризована падающая волна. Запишем граничные условия на поверхности раздела двух сред:

Здесь нижние индексы обозначают тангенциальную и нормальную компоненты, а верхние индексы соответствуют падающей, отраженной и преломленной волнам. Для плоской монохроматической волны

соотношения для волновых векторов (рис. 75) имеют вид:

где . Из этих соотношений получим закон отражения. В случае, когда приходим к закону Снеллиуса: Если то происходит полное отражение: оказывается мнимым, т.е. амплитуда прошедшей волны экспоненциально затухает с характерной глубиной проникновения

Амплитуды прошедшей и отраженной волн зависят от поляризации падающей волны. Приведем результат для отраженных волн:

(формулы Френеля). Здесь первая формула относится к волне, поляризованной в плоскости падения, а вторая - к волне, поляризованной в перпендикулярной плоскости. Видно, что при угле падения, удовлетворяющем условию волна, поляризованная в плоскости падения, отражаться не будет. Так как в этом случае , то угол падения, при котором отраженная волна будет линейно поляризованной перпендикулярно плоскости падения (угол Брюстера), удовлетворяет соотношению:

Качественное объяснение состоит в том, что в этом случае направление колебаний диполей (указаны на рисунке), возбужденных во второй среде волной, поляризованной в плоскости падения, оказывается параллельным направлению отраженной волны (отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны"). Но осциллятор не излучает волну в направлении своих колебаний (см. разд. 4.5).

В случае нормального падения различие между поляризациями пропадает:

Видно, что при отражении от оптически более плотной среды фаза колебаний сменяется на противоположную (точнее, к фазе добавляется ).

Отношение отраженной энергии к энергии падающей называется коэффициентом отражения. При нормальном падении он равен

Коэффициент пропускания равен Коэффициенты зависят только от относительного показателя преломления двух сред.

Пример. Просветление оптики. Коэффициент отражения стекол в оптических приборах невелик (несколько процентов). Тем не менее важной задачей

является уменьшение отражения для определенных длин волн. Для этого на поверхность наносят прозрачную пленку с показателем преломления показатель преломления стекла) и толщиной Оптическая разность хода между лучами, отраженными от поверхностей пленки, равна (изменение фазы при отражении учитывать не надо, так как оно происходит у каждого из лучей), а коэффициенты отражения на этих поверхностях будут близки друг к другу (см. формулу (15)). В результате произойдет почти полное гашение отраженного света.

Оптически анизотропные среды. В случае сред, обладающих анизотропией, векторы в общем случае уже не параллельны друг другу. Линейная связь между ними носит тензорный характер, т.е. каждая из компонент вектора Й выражается в виде линейной комбинации всех трех компонент вектора . Существуют три взаимно перпендикулярные оси, называемые диэлектрическими осями кристалла, для которых Значения называются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. Мы рассмотрим только случай одноосных кристаллов, у которых две из трех равны друг другу Выделенная ось называется оптической осью кристалла.

При распространении в одноосном кристалле плоской волны вводят главное сечение кристалла - плоскость, проходящую через оптическую ось и вектор нормали к фронту волны. Оказывается, что распространение линейно поляризованной световой волны зависит от направления ее поляризации. Волна, поляризованная перпендикулярно главному сечению, называется обыкновенной. Скорость распространения такой волны не зависит от направления;

колебания векторов направлены одинаково; направление распространения энергии (т.е. вектора Пойнтинга ) перпендикулярно фронту волны. Волна, поляризованная параллельно главному сечению, называется необыкновенной. Скорость ее распространения зависит от угла между и оптической осью (при угле между ними она равна Колебания векторов происходят в разных направлениях, вектор Пойнтинга не перпендикулярен к фронту волны (нормаль к фронту волны параллельна ). Разница между обыкновенным и необыкновенным лучами исчезает только при распространении света параллельно оптической оси.

При падении света на поверхность кристалла он разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи, линейно поляризованные перпендикулярно друг другу и имеющие разные показатели преломления. Закону преломления (см. разд. 5.1) подчиняется направление распространения фронта необыкновенной волны, сам же луч может выйти из плоскости падения. Даже при нормальном падении луча на кристалл, вырезанный под углом к оптической оси, происходит пространственное разделение лучей (рис. 76). Положения

фронтов указаны черточками, положение оптической оси - стрелкой. Необыкновенный луч поляризован в плоскости чертежа, обыкновенный перпендикулярно ей.

Для получения и анализа поляризованного света используют поляризационные призмы (николи), разрезанные под углом к распространению лучей таким образом, что обыкновенный луч испытывает на плоскости разреза полное отражение и уходит в сторону, а необыкновенный луч проходит прямо. Другой способ получения поляризованного света основан на различии в поглощении обыкновенного и необыкновенного лучей в некоторых веществах. При пропускании света через дихроичную пластину (пластинку турмалина, поляроид) обыкновенный луч поглощается, и наружу выходит линейно поляризованный необыкновенный луч.

Для анализа характера поляризации света изучают зависимость интенсивности от ориентации николя. Если интенсивность не меняется, то свет либо естественный, либо поляризован по кругу. Чтобы различить эти случаи, используют пластинку в четверть волны, или компенсатор. Толщина пластинки подобрана так, чтобы разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами равнялась Сдвиг фаз между взаимно перпендикулярными колебаниями станет равным либо нулю, либо и круговая поляризация превратится в линейную.

Вращение плоскости поляризации. При распространении в некоторых веществах (их называют оптически активными) линейно поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. Угол поворота пропорционален толщине пластины: где а - вращение на единицу длины. В зависимости от направления поворота различают право- и левовращающие вещества. Пример - пластинка кварца, вырезанная перпендикулярно оптической оси (кварц бывает как лево-, так и правовращающим). В растворах оптически активного вещества в неактивном растворителе а пропорционально концентрации. Молекулы активных веществ обладают асимметрией по отношению к правому и левому вращению по типу спирали. Явление вращения плоскости поляризации можно охарактеризовать как круговое двойное лучепреломление. Волны, поляризованные по кругу в разные стороны, распространяются с разными скоростями, т.е. разность фаз между ними меняется. Сумма двух таких колебаний представляет собой линейное колебание, направление которого зависит от разности фаз.

Искусственная анизотропия. При помещении многих изотропных тел в однородное электрическое поле у них возникает одноосная анизотропия с оптической осью, ориентированной параллельно напряженности поля (электр о оптический эффект Керра). Разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами при распространении света перпендикулярно Р пропорциональна квадрату напряженности:

где I - толщина слоя вещества, а В называется постоянной Керра. Искусственная анизотропия возникает в тех случаях, когда поляризуемость молекул вещества зависит от их ориентации по отношению к полю. Аналогичный эффект возникает при помещении некоторых веществ в магнитное поле (эффект Коттона-Мутона). Он описывается соотношением

При помещении неактивных веществ в сильное магнитное поле может возникнуть оптическая активность для света, распространяющегося параллельно вектору Й (магнитное вращение плоскости поляризации). Вращение на единицу длины в этом случае (для и парамагнетиков) пропорционально величине магнитной индукции: где называется постоянной Верде.

Допустим, что граница раздела сред плоская и неподвижная. На нее падает плоская монохроматическая волна :

отражённая волна при этом имеет вид:

для преломленной волны имеем:

отраженная и преломленная волны будут тоже плоскими, и иметь ту же частоту: ${\omega }_{pad}=\omega_{otr}=\omega_{pr}=\omega $. Равенство частот следует из линейности и однородности граничных условий.

Разложим электрическое поле каждой волны на две компоненты. Одну, находящуюся в плоскости падения, другая в перпендикулярной плоскости. Эти составляющие называют главными составляющими волн. Тогда можно записать:

где ${{\overrightarrow{e}}_x,\overrightarrow{e}}_y,\ {\overrightarrow{e}}_z$ -- единичные векторы вдоль осей $X$,$Y$,$Z.$ ${\overrightarrow{e}}_1,\ {\overrightarrow{e}}"_1,{\overrightarrow{e}}_2$ -- единичные векторы, которые находятся, в плоскости падения и перпендикулярны соответственно, падающему, отраженному и преломленному лучам (рис.1). То есть можно записать:

Рисунок 1.

Скалярно умножим выражение (2.а) на вектор ${\overrightarrow{e}}_x,$ получаем:

Аналогичным путем получают:

Так, выражения (4) и (5) дают $x-$, $y-$. $z-$ составляющие электрического поля на границе раздела веществ (при $z=0$). Если не учитывать магнитных свойств вещества ($\overrightarrow{H}\equiv \overrightarrow{B}$), то компоненты магнитного поля можно записать как:

Соответствующие выражения для отраженной волны имеют вид:

Для преломленной волны:

Для нахождения $E_{pr\bot }$,$\ E_{pr//},\ E_{otr\bot },\ E_{otr//}$ используют граничные условия:

Подставим в выражения (11) формулы (10), получим:

Из системы уравнений (12),учитывая равенство угла падения и угла отражения (${\alpha }_{pad}=\alpha_{otr}=\alpha $) получим:

Отношения, которые стоят в левых частях выражений (13) называют коэффициентами Френеля. Данные выражения формулами Френеля.

При обычном отражении коэффициенты Френеля вещественные. Это доказывает, что отражение и преломление не сопровождает изменение фазы, исключение -- изменение фазы отраженной волны на $180^\circ$. В том случае, если падающая волна является поляризованной, то отраженная и преломленная волны тоже поляризованы.

Получая формулы Френеля, мы полагали свет монохроматическим, однако, если среда не является диспергирующей и происходит обычное отражение, то данные выражения справедливы и для немонохроматических волн. Надо только под составляющими ($\bot $ и //) понимать соответствующие компоненты напряженностей электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн на границе раздела.

Пример 1

Задание: Объясните, почему изображение заходящего солнца при тех же условиях не уступает по яркости самому солнцу.

Решение:

Для объяснения подобного явления используем следующую формулу Френеля:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=-\frac{sin (\alpha -{\alpha }_{pr})}{sin (\alpha +{\alpha }_{pr})};\ \frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}=\frac{tg (\alpha -{\alpha }_{pr})}{tg (\alpha +{\alpha }_{pr})}(1.1).\]

В условиях скользящего падения, когда угол падения ($\alpha $) практически равен $90^\circ$ получаем:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=\frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}\to -1(1.2).\]

При скользящем падении света коэффициенты Френеля (по модулю) стремятся к единице, то есть отражение получается практически полным. Это объясняет яркие изображения берегов в спокойной воде водоема и яркость заходящего солнца.

Пример 2

Задание: Получите выражение для отражательной способности ($R$), если так называют коэффициент отражения при нормальном падении света на поверхность.

Решение:

Для решения задачи используем формулы Френеля:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=\frac{n_1cos\left(\alpha \right)-n_2cos\left({\alpha }_{pr}\right)}{n_1cos\left(\alpha \right)+n_2cos\left({\alpha }_{pr}\right)},\ \frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}=\frac{n_2{cos \left(\alpha \right)\ }-n_1{cos \left({\alpha }_{pr}\right)\ }}{n_2{cos \left(\alpha \right)\ }+n_1{cos \left({\alpha }_{pr}\right)\ }}\left(2.1\right).\]

При нормальном падении света формулы упрощаются и превращаются в выражения:

\[\frac{E_{otr\bot }}{E_{pad\bot }}=-\frac{E_{otr//}}{E_{pad//}}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{n-1}{n+1}(2.2),\]

где $n=\frac{n_1}{n_2}$

Коэффициентом отражения называют отношение энергии отраженной к энергии падающей. При этом известно, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно, можно положить, что искомый коэффициент можно найти как:

Ответ: $R={\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^2.$

Французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое уравнениями Френеля, называется френелевским отражением .

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса . В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны , большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s -Поляризация - это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч). p -Поляризация - поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s -поляризации и p -поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера ; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s -Поляризация

где θ i - угол падения, θ t - угол преломления, n 1 - показатель преломления среды, из которой падает волна, n 2 - показатель преломления среды, в которую волна проходит, P - амплитуда волны, которая падает на границу раздела, Q - амплитуда отражённой волны, S - амплитуда преломлённой волны.

Углы падения и преломления связаны между собой законом Снеллиуса

Отношение n = n 2 / n 1 называется относительным показателем преломления двух сред.

p -Поляризация

где P , Q и S - амплитуды волны, которая падает на границу раздела, отражённой волны и преломлённой волны, соответственно.

Коэффициент отражения

Коэффициент прохождения

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и прохождения для p - и s -поляризованных волн. Для нормального падения

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. - Издание 3-е, стереотипное. - М .: Физматлит, МФТИ , 2002. - Т. IV. Оптика. - 792 с. - ISBN 5-9221-0228-1
• Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - «Наука», 1973.
• Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН . - 1999. - Т. 169. - С. 1025.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Уравнения Френеля" в других словарях:

Определяют отношения амплитуды, фазы и состояния поляризации отражённой и преломленной световых волн, возникающих при прохождении света через неподвижную границу раздела двух прозрачных диэлектриков, к соответствующим характеристикам… …

Схема эксперимента дифракции на круглом отверстии Дифракция Френеля дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятс … Википедия

S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) приме … Википедия

Пограничная область оптики и кристаллофизики, охватывающая изучение законов распространения света в кристаллах. Характерными для кристаллов явлениями, изучаемыми К., явл. двойное лучепреломление, поляризация света, вращение плоскости поляризации … Физическая энциклопедия

Пограничная область оптики и кристаллофизики, охватывающая изучение законов распространения света в кристаллах. Характерными для кристаллов явлениями, изучаемыми К., являются: Двойное лучепреломление, Поляризация света, Вращение плоскости … Большая советская энциклопедия

Эллипсометрия высокочувствительный и точный поляризационно оптический метод исследования поверхностей и границ раздела различных … Википедия

Физический процесс взаимодействия электромагнитных волн рентгеновского диапазона с поверхностью, сопровождающийся изменением направления волнового фронта на границе двух сред с разными оптическими свойствами.Является разновидностью полного… … Википедия

1. Характерные свойства луча света. 2. Свет не есть движение упругого твердого тела механики. 3. Электромагнитные явления как механические процессы в эфире. 4. Первая Максвеллова теория света и электричества. 5. Вторая Максвеллова теория. 6.… …

Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Формулы Френеля

Перпендикулярная поляризация. В этом случае вектор перпендикулярен плоскости падения и параллелен границе раздела, а плоскость поляризации ЭМВ перпендикулярна плоскости распространения.

После преобразований, подробно рассмотренных в , получаем формулы О. Френеля для перпендикулярно поляризованных ЭМВ :

; . (9.5)

Для немагнитных сред () (9.5) упрощается :

; . (9.6)

Параллельная поляризация. В этом случае вектор лежит в плоскости распространения, а вектор перпендикулярен ей и параллелен границе раздела, т. е. плоскость поляризации ЭМВ параллельна плоскости ее падения.

После преобразований, подробно рассмотренных в , получаем формулы Френеля для параллельной поляризации :

; . (9.7)

Для немагнитных сред () формулы (9.7) упрощаются :

; . (9.8)

Падающую ЭМВ раскладывают на две составляющие, перпендикулярную и параллельную плоскости падения, и находят составляющие отраженной и преломленной волн. Соотношения между этими составляющими ЭМП определяют характер поляризации ЭМВ. В общем случае поляризация падающей, отраженной и преломленной ЭМВ может оказаться различной.

Из выражений (9.5) и (9.7) можно получить формулы для ЭМВ, падающей на границу раздела сред нормально , положив :

; . (9.9)

Из выражения (9.9) следует, что при нормальном падении ЭМВ на границу раздела отраженная волна будет отсутствовать (Г 0 = 0 ) только в том случае, если волновые сопротивления сред равны (условие согласования сред).

На рис. 9.2 приведены графики зависимостей коэффициента отражения ЭМВ обеих поляризаций от угла падения при различных соотношениях между диэлектрическими проницаемостями сред .

На рис. 9.3 приведены аналогичные графики Т (j). Следует отметить, что коэффициент преломления Т , называемый в литературе также коэффициентом прохождения во вторую среду из первой, не является энергетическимкоэффициентом прохождения . Например, при Z в2 > Z в1 Т будет всегда больше единицы.

Векторы Пойнтинга в разных средах связаны с разными площадями поперечных сечений лучей. Если вектор Пойнтинга наклонно падающей ЭМВ привязать к определенной площади (например, круг), то на границе раздела эта площадь изменится (круг растянется в эллипс). Во второй среде форма сохранится, но сама площадь также несколько изменится.

Явление полного отражения. В случае, когда ЭМВ проходит из оптически более плотной среды в менее плотную (), воз­ни­кает явление полного отражения (рис. 9.4).

Угол преломления y будет вещественным числом при условии:

. (9.10)

В этом случае вещественны также Г и Т в формулах Френеля.

Неравенство (9.10) нарушается, если угол падения j превышает некоторое значение j кр , называемое критическим углом :

. (9.11)

Если угол падения больше критического , то угол y не может быть вещественным, поскольку . В этом случае отраженная волна уносит всю энергию , принесенную падающей.

Явление полного внутреннего отражения используется в линиях передачи нулевой связности (световоды и т. п. – см. темы 15, 18).

Явление полного прохождения. Для ЭМВ с параллельной поляризацией существует угол падения, именуемый углом Д. Брюстера , при котором отраженная волна отсутствует , а значит, ЭМВ полностью переходит во вторую среду. Для немагнитных диэлектриков () с малыми потерями, согласно выражениям (9.8), при , поскольку .

По закону Снеллиуса (9.3) находим .

Откуда следует

. (9.12)

Для ЭМВ с перпендикулярной поляризацией аналогичного эффекта не существует , а значит, всегда больше нуля.

Угол Брюстера называют также углом полной поляризации .

Если ЭМВ с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом , отраженный луч имеет только перпендикулярную поляризацию , так как параллельно поляризованная компонента полностью проходит через пластину.

На рис. 9.5 приведены ½Г(j) ½ при различных значениях tgd второй среды при отсутствии потерь в первой.

Как видно из графиков, явление полного прохождения наблюдается только при отсутствии потерь проводимости. Если tgd > 0, то при параллельной поляризации график ½Г(j) ½ будет иметь минимум, но нулевого значения не достигнет.

Если подбирать e 2 так, чтобы модуль комплексной e 2 оставался неизменным (), то минимум ½Г(j) ½ будет достигаться при угле падения, равном углу Брюстера.

В случае перпендикулярной поляризации принципиальных изменений в поведении графиков на рис. 9.5 не происходит. Модуль Г(j) с ростом угла падения монотонно возрастает от Г 0 до единицы, а фаза Г(j) практически не отличается от 180° .

Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для герметизации и крепления проводников в различных линиях связи и устройствах СВЧ, часто ставят под углом Брюстера. В этом случае на определенной частоте они полностью прозрачны для проходящих волн. Аналогичным образом поступают, если необходимо обеспечить минимальный уровень отраженной волны при падении ЭМВ из воздуха на вещество с Z в , отличающимся от Z 0 воздуха.

Стоячая волна. КСВ. КБВ. При нормальном падении ЭМВ на границу раздела сред в первой среде складываются падающая и отраженная волны, имеющие противоположные направления распространения.

Суперпозиция ЭМВ в первой среде с учетом формул (9.6) определяется так :

С учетом (9.4) выражения (9.13) преобразуем так:

Выражение в квадратных скобках можно назвать множителем стоячей волны , так как эта величина показывает периодически изменяющуюся вдоль координаты х «волнистую структуру» ЭМП (рис. 9.6).

При отсутствии потерь в среде:

. (9.15)

При монотонном изменении х второе слагаемое (9.15) вращается вокруг «1» с удвоенной (по сравнению с падающей волной) частотой. Максимальное значение составляет , а минимальное . Расстояние между соседними экстремумами стоячей волны составляет p/k 1 = l 1 /2 .

Если среды согласованы, то , и в этом случае отраженная ЭМВ отсутствует. Если вторая среда – идеальный проводник, то , и в этом случае будет отсутствовать прошедшая ЭМВ, а в первой среде будет только стоячая волна с удвоенной (относительно падающей ЭМВ) амплитудой.

Из формул (9.13) и (9.14) получаем

, . (9.16)

На рис. 9.7 показана структура ЭМП стоячей волны. Из рис. 9.7 и выражения (9.16) сле­дует, что магнитная и электрическая составляющие имеют фазовый сдвиг на четверть длины волны (± 90°). Среднее значение вектора Пойнтинга в любой точке стоячей волны равно нулю, и передачи энергии нет.

Если перейти от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, получим:

За период 2π/w 1 получаются распределения максимальных и минимальных значений, показанные на рис. 9.8, которые соответствуют удвоенной частоте пространственного распределения.

При экспериментальном исследовании пространственной структуры стоячей волны с помощью измерительной линии на выходе детекторной секции получится зависимость вида (рис. 9.9).

1. Сформулируйте законы Снеллиуса.

2. Являются ли законы отражения и преломления плоских волн на границе раздела сред фундаментальными законами природы?

3. Дайте определение коэффициентам отражения и прохождения. Какова область значений этих величин?

4. Каково поведение ЭМВ параллельной поляризации на границе раздела?

5. Охарактеризуйте поведение ЭМВ перпендикулярной поляризации на границе раздела сред.

6. Укажите условие согласования сред.

7. Назовите условия полного прохождения.

8. Назовите условия полного отражения.

9. Есть ли связь между явлением полного прохождения и эффектом полной поляризации?

10. При критическом угле падения исчезает прошедшая волна. Что наблюдается, если угол падения больше критического?

11. Как изменяются условия прохождения ЭМВ через границу раздела в средах с потерями?

12. Возможно ли полное отражение ЭМВ от границы раздела диэлектриков с потерями?

13. Дайте определение стоячей волне. Объясните особенности ее ЭМП.

14. Почему стоячая ЭМВ не переносит энергию, хотя векторы ЭМП и существуют?

15. Дайте определение и укажите область значений КСВ и КБВ.

16. Можно ли получить стоячую волну из бегущих волн?

17. На границу раздела сред без потерь под углом Брюстера падает ЭМВ параллельной поляризации. Найдите соотношения между модулями векторов Пойнтинга в обеих средах и объясните полученный результат с точки зрения закона сохранения энергии.