Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Решение матричной игры
Парную игру с нулевой суммой удобно исследовать, если она описана в виде матрицы.
Предположим, что игрок A
имеет m
стратегий (обозначим их А
1 , А
2 , …, A m), а игрок B
(противник) – n
стратегий (B 1, B 2, …, B m). Такая игра называется игрой размерности m х n . Пусть игрок A выбрал одну из своих возможных стратегий A i .
Игрок B
, не зная результата выбора игрока A
, выбрал стратегию B j .
Для каждой пары стратегий (A i ,
B j) определен платеж a ij второго игрока первому, т.е. выигрыш игрока A
.
Выигрышем игрока B
будет соответственно (– a ij). Никакой дискриминации по отношению ко второму игроку здесь нет, т. к. величины a ij могут быть и отрицательны, тогда –a ij > 0. Например, a 13 = –2 – выигрыш A
, –a 13 = 2 – выигрыш B
. Такая игра называется матричной
; матрица, составленная из чисел a ij , называется платежной
. В примере 1 платежная матрица имеет вид
Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока A , а столбцы – стратегиям игрока B . Общий вид такой матрицы
| B A | B 1 | B 2 | … | B j | … | B n |
| A 1 | a 11 | a 12 | … | a 1j | … | a 1n |
| A 2 | a 21 | a 22 | … | a 2j | … | a 2n |
| … | … | |||||
| A i | a i1 | a i2 | … | a ij | … | a in |
| … | … | … | … | … | … | … |
| A m | a m1 | a m2 | … | a mj | … | a mn |
Пример №1 . Игроки A и B играют в следующую игру. Игрок A записывает одно из чисел 3, 7, 8, а игрок B записывает одно из чисел 4, 5. Если сумма чисел четная, то это выигрыш игрока A . Если сумма чисел нечётная, то это выигрыш игрока B (проигрыш игрока A). Найти платёжную матрицу и оптимальное решение.
Решение. Если сумма чисел чётная, игрок A получает выигрыш +1, иначе игрок B получает выигрыш +1 (т.е. A получает выигрыш -1). Платежная матрица:
| 3 | 7 | 8 | |
| 4 | -1 | -1 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | -1 |
Пример №2
. Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона 1-5. Если сумма чисел нечетная, то игрок 2 платит игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок 1.
Решение. Будем записывать положительные числа, как плата первому игроку, отрицательные - плата второму.
Платежная матрица игры.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 1 | -1 | 2 | -3 | 4 | -5 |
| 2 | 2 | -2 | 3 | -4 | 5 |
| 3 | -3 | 3 | -3 | 4 | -5 |
| 4 | 4 | -4 | 4 | -4 | 5 |
| 5 | -5 | 5 | -5 | 5 | -5 |
Пример №3 . Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?
Решени.
Затраты на производство: 115 руб. Доход: 115+75 = 190 руб.
Реализация только произведенной продукции по формуле: Прибыль = Цена * Объем продаж - Себестоимость * Объем производства
1125 = 15*190 - 15*115
1010 = 15*190 - 16*115
1200 = 16*190 - 16*115
895 = 15*190 - 17*115
1085 = 16*190 - 17*115
1275 = 17*190 - 17*115
Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно?
Выгодно производить 16 упаковок исходя из средней прибыли и 15 упаковок, учитывая вероятность продаж.
Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
1136,7 руб. исходя из средней прибыли и 1125 руб., учитывая вероятность продаж.
Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?
При увеличении срока хранения продукции появляется возможность реализации всего произведенного объема продукции, т.е. сколько произвели, столько же и реализовали.
В этом случае уже выгодно производить 17 упаковок (они все равно реализуются).
Суть каждого принимаемого руководством решения - выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. (Если вы захотите вспомнить рассмотрение ограничений и критериев для принятия решений, обратитесь к гл. 6).Платежная матрица - это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.
По словам Н. Пола Лумбы: <Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу>, как показано на рис. 8.4. Слова <в сочетании с конкретными обстоятельствами> очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.
В целом платежная матрица полезна, когда:
1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.
2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.
3. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.
Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность. Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомним, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.
Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий. Например, если исходить из того, что инвесторы на удачной кинокартине могут иметь 500% на инвестированный капитал, а при вложении в торговую сеть - в самом благоприятном варианте всего 20%, то решение всегда должно быть в пользу кинопроизводства. Однако если взять в расчет, что вероятность большого успеха кинофильма весьма невысока, капиталовложения в магазины становятся более привлекательными, поскольку вероятность получения указанных 20% очень значительна. Если взять более простой пример, то выплаты при ставках в заезде на длинную дистанцию на скачках выше, поскольку выше вероятность, что не выиграешь вообще ничего.
Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения - центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии - это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 - 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 - 3000 долл., то ожидаемое значение составит.
Для принятия оптимальных решений применяются следующие методы:
− платежная матрица;
− дерево решений;
− методы прогнозирования.
Платежная матрица . Суть каждого принимаемого руководством решения – выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. Платежная матрица – это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.
Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу. Слова «в сочетании с конкретными обстоятельствами» очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего, будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным. В целом платежная матрица полезна, когда:
1) имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними;
2) то, что может случиться, с полной определенностью не известно;
3) результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.
Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность, но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.
Многие допущения, из которых исходит руководитель, относятся к условиям в будущем, над которыми руководитель почти не имеет никакого контроля. Однако такого рода допущения необходимы для многих операций планирования. Ясно, что чем лучше руководитель сможет предсказать внешние и внутренние условия применительно к будущему, тем выше шансы на составление осуществимых планов.
Используя дерево реш ений, руководитель может рассчитать результат каждой альтернативы и выбрать наилучшую последовательность действий. Результат альтернативы рассчитывается путем умножения ожидаемого результата на вероятность и последующим суммированием таких же произведений, находящихся правее на дереве решений.
Дерево решений – это схематическое представление проблемы принятия решений. Как и платежная матрица, дерево решений дает руководителю возможность учесть различные направления действий, соотнести с ними финансовые результаты, скорректировать их в соответствии с приписанной им вероятностью, а затем сравнить альтернативы. Концепция ожидаемого значения является неотъемлемой частью метода дерева решений (рис.1).
Рисунок - Дерево принятия решений
Дерево решений можно строить под сложные ситуации, когда результаты одного решения влияют на последующие решения. Таким образом, дерево решений – это полезный инструмент для принятия последовательных решений.
Принятие решений как результат управленческой деятельности. Уровни принятия решений в организации
Принятие решений является результатом управленческой деятельности менеджмента предприятия. Принятие решения отличается в зависимости от уровня в организации. Имеет место иерархия управления. Редко осуществляется одноступенчатая иерархия в управлении:
Обычно существует иерархия (пирамида) управления с дифференциацией по рангу командной власти, компетенции принятия решений, авторитету, положению.
Иерархия управления - инструмент для реализации целей фирмы и гарантия сохранения системы. Чем выше иерархический уровень, тем больше объем и комплексность выполняемых функций, ответственность, доля стратегических решений и доступ к информации. Одновременно растут и требования к квалификации, и личная свобода в управлении. Чем ниже уровень - тем больше простота решений, доля оперативных видов деятельности (рис. 2).
Рисунок 2- Иерархия менеджмента
Важность выработки и принятия рационального решения проблемы несомненны. Но это лишь первый, хотя и определяющий шаг менеджера. Решение еще необходимо выполнить. Реализация решения осуществляется с большей долей вероятности, быстрее и с инициативой, тогда, когда в процессе его выработки и принятия участвовали исполнители, тем более, если они вносили свои предложения и отбирали наиболее приемлемый вариант.
Ход реализации управленческого решения начинается с планирования или составления графика работ по реализации. В плане реализации решения проблемы предусматриваются конкретные исполнители, ответственные за отдельные участки или объемы работ, сроки и способы достижения желаемых результатов, необходимые материальные и финансовые средства. Планом должен быть предусмотрен также контроль за ходом выполнения решения и итоговый контроль после снятия проблемы.
К методам решения проблем следует отнести , прежде всего, практическую целесообразность всего комплекса работ. Они должны быть экономичными, без лишних расходов, чтобы доход от полученных результатов решения проблемы превосходил сделанные затраты. Методы решения проблем должны быть надежными, безошибочными и точными.
В ходе реализации решения важно установить обратную связь между исполнителями и руководителем, ответственным за решение проблемы.
В целом процесс принятия и реализации решения можно проследить следующим образом:
1) принятие решения;
2) сообщение о решении;
3) реализация решения;
4) установление обратной связи;
5) оценка результатов.
В ходе реализации решения иногда возникают ситуации, меняющие первоначальные планы. Тогда необходима корректировка действий, а иногда и отмена устаревших распоряжений, если обстоятельства изменились коренным образом. Используя обратную связь, руководитель может быстро реагировать на произошедшие изменения и принять иные, соответствующие обстановке решения.
В практической работе менеджеров бывают обстоятельства, когда они вынуждены принимать нестандартные решения. Правда, эти случаи редки, и менеджеров, идущих на риск, немного. Успех дела здесь может быть достигнут лишь благодаря огромному опыту, знаниям и интуиции руководителя. Решение нестандартных проблем сопряжено с большой, напряженной и сложной работой всех участников, а также с постоянными поправками, координацией, контролем. Здесь присутствует риск потерять многое, если не все. Но в случае удачного исхода дела и положительного нестандартного решения результат превосходит всякие ожидания.
Нестандартные решения часто вызывают возражения, а иногда и яростное сопротивление консервативно настроенных специалистов. Ведь ими проведен анализ проблемы, изучены и отобраны альтернативы, построены математические модели и т.д. Но опытный менеджер может настоять на своем и убедить оппонентов принять именно нестандартное решение. И в конечном итоге он оказывается прав, конечно, если все его доводы и предложения не были авантюрой.
Процедура процесса управления тесно связаны со спецификой предприятия и основными сферами его деятельности (общее управление, финансовое управление, производство, НИОКР, маркетинг).
Общее управление предприятия состоит в его структуризации, организации деятельности, планировании, управлении персоналом, контроле, учете и анализе результатов деятельности, что подробно будет рассмотрено в дальнейшем.
В сфере телекоммуникаций при управлении процессом оказания услуг решаются задачи экономики производства (издержки, цены). К задачам планирования процесса оказания услуг связи относят:
Выбор технологического процесса;
Планирование программы оказания услуг;
Планирование последовательности процесса оказания услуг;
Формирование производственных систем (систем оборудования);
Организация материально-технического снабжения процесса оказания услуг связи.
Реализация функций в области маркетинга включает:
Организацию сбора и обработки маркетинговой информации;
Выбор целевых рынков и их сегментирование;
Применение маркетинговых решений по услуге;
Выбор и взаимодействие с каналами реализации услуг;
Продвижение услуги;
Выбор и реализация ценовой политики;
Планирование и анализ эффективности маркетинговой деятельности.
Финансовое управление предприятием сферы телекоммуникаций включает:
Приобретение финансовых средств;
Использование финансовых средств;
Управление ликвидностью;
Структурирование капитала и имущества;
Управление платежными средствами и проведение платежного оборота;
Финансовое планирование и финансовый контроль.
Таким образом, конкретные функции управления фирмой можно рассматривать как системные компоненты ее менеджмента.
Основные этапы процесса разработки, принятия и реализации управленческих решений. Модели и методы принятия решений
В сфере телекоммуникаций на предприятиях протекают процессы разработки, принятия и реализации управленческих решений, которые имеют важное значение.
Многие исследователи полагают, что оптимальной деятельности предприятия способствуют принятые и реализованные рациональные решения. В основе разработки рационального решения проблемы лежит объективный и многосторонний анализ условий, в которых предприятие действует в каждый период времени, а также тенденции, которые будут иметь место в дальнейшем.
Этот анализ протекает по этапам от начала возникновения проблемы до полного устранения и получения позитивного результата.
Первый этап содержит анализ ситуации, в рамках которой обнаружились симптомы или признаки возникающей проблемы. Если данный процесс удалось обнаружить на ранних стадиях, то возможностей предотвращения негативного развития событий значительно больше. Работа на данном этапе ведется в так называемом проблемном поле, где выявляются и формулируются возникшие перед предприятием проблемы.
На втором этапе проводится анализ самой проблемы. Затягивать его нельзя, так как может быть упущено драгоценное время для решения проблемы. Однако оставлять неясности в этом анализе недопустимо, ибо могут «всплыть» новые причины, породившие проблему. Всегда необходимо разобраться в проблеме до конца и точно ее сформулировать.
Третий этап – выявление факторов, ограничивающих принятие рационального решения данной проблемы. Среди этих факторов, могут быть как внешние, так и внутренние. Если внешнее окружение оказывает несущественное влияние на выработку и реализацию рационального решения, то рассматривают внутренние возможности. Это может касаться самих руководителей, принимающих решения. В зависимости от личности руководителя решения могут носить различный характер. Часто менеджер уравновешенный, спокойный, критически настроенный к себе принимает осторожные решения. Недоверчивые, скептически настроенные люди склонны принимать инертные решения, быстрые, подвижные – холерики – могут принять импульсивные и весьма рискованные решения.
К ограничениям внутреннего порядка следует отнести ограниченность средств для решения проблемы, недостающее число специалистов необходимой квалификации, этические соображения и т.д. Кроме этого, менеджеры могут выработать и реализовать рациональное решение лишь тогда, когда высшее руководство предоставит им соответствующие полномочия.
На четвертом этапе выработки рационального решения осуществляются определение, оценка и выбор альтернативы из имеющихся вариантов. Сначала формулируются все возможные в данном случае альтернативы и из них выбираются наиболее реальные. Здесь главное – найти оптимальный вариант, позволяющий разрешить проблему. Научный подход к выбору альтернативы предполагает наличие некоего стандарта или критериев, с помощью которых устанавливается приемлемость данного варианта решения проблемы для ее разработчика и исполнителей.
В случае, если проблема верно сформулирована, оценена, альтернативные варианты отброшены, менеджер окончательно приходит к выводу, что следует остановить свой выбор на данном рациональном варианте решения. Такой выбор не обязательно преследует максимум полезности и даже не оптимальное достижение результата. Как правило, менеджеры ориентируются на решение, удовлетворяющее все заинтересованные в разрешении этой проблемы стороны.
Пятый этап – это согласование решения с исполнителями и всеми заинтересованными сотрудниками. Оно осуществляется путем визирования документа (приказа), предписывающего исполнение решения данной проблемы.
И, наконец, заключительный шестой этап – это утверждение решения высшим руководителем предприятия. Такая процедура является обязательной, если для реализации решения требуется израсходовать материальные, денежные и людские ресурсы и резервы. Тот, кто несет ответственность за эти средства, тот и утверждает решение. После этого начинается реализация рационального решения.
6. Проектные методы в управлении
В конце 50-х годов в США для осуществления программы исследовательских и конструкторских работ по созданию ракеты “Поларис” был использован метод планирования и управления, основанный на идее определения, оценки вероятных сроков и контроля так называемого “критического пути” всего комплекса работ. Результаты превзошли все ожидания: во-первых, заметно уменьшилось число сбоев в работе из-за несогласованности используемых ресурсов, резко сократилась общая продолжительность выполнения всего комплекса работ, получен огромный эффект из-за снижения суммарной потребности в ресурсах и, соответственно, уменьшения общей стоимости программы.
Вскоре после того, как результаты выполнения программы “Поларис” стали достоянием общественности, весь мир заговорил о методе PERT (Project Evaluation and Review Technique) как о новом подходе к организации управления.
За прошедшее с тех пор время метод “критического пути” не только получил широкое применение в повседневной практике управления, но и обусловил появление специальной научно-прикладной дисциплины – управление проектами. В центре внимания этой дисциплины находятся вопросы планирования, организации, контроля и регулирования хода выполнения проектов, организации материально-технического, финансового и кадрового обеспечения проектов, оценки инвестиционной привлекательности различных вариантов реализации проектов.
В современной деловой среде актуальность проектного управления как метода организации и управления производством значительно возросла. Это обусловлено объективными тенденциями в глобальной реструктуризации бизнеса. Принцип концентрации производственно-экономического потенциала уступил место принципу сосредоточения на развитии собственного потенциала организации. Крупные производственно-хозяйственные комплексы конгломеративного типа быстро замещаются гибкими сетевыми структурами, среди участников которых доминирует принцип предпочтения использования внешних ресурсов внутренним (outsourcing). Поэтому производственная деятельность всё больше превращается в комплекс работ со сложной структурой используемых ресурсов, сложной организационной топологией, сильной функциональной зависимостью от времени и огромной стоимостью.
Объект проектного управления. Термин проект, как известно, происходит от латинского слова projectus, что в буквальном переводе означает “брошенный вперед”. Таким образом, сразу становится ясно, объект управления, который можно представить в виде проекта, отличает возможность его перспективного развертывания, т.е. возможность предусмотреть его состояния в будущем. Хотя различные официальные источники трактуют понятие проекта по-разному, во всех определениях четко просматриваются особенности проекта как объекта управления, обусловленные комплексностью задач и работ, четкой ориентацией этого комплекса на достижение определенных целей и ограничениями по времени, бюджету, материальным и трудовым ресурсам.
Однако, любая деятельность, в том числе и та, которую никто не собирается называть проектом, выполняется в течение определенного периода времени и связана с затратами определенных финансовых, материальных и трудовых ресурсов. Кроме того, любая разумная деятельность, как правило, целесообразна, т.е. направлена на достижение определенного результата. И, тем не менее, в одних случаях к управлению деятельностью подходят как к управлению проектом, а в других случаях – нет.
Деятельность как объект управления рассматривается в виде проекта тогда, когда она объективно имеет комплексных характер и для ее эффективного управления важное значение имеет:
Анализ внутренней структуры всего комплекса работ (операций, процедур и т.п.);
Переходы от одной работы к другой определяют основное содержание всей деятельности;
Достижение целей деятельности связано с последовательно-параллельным выполнением всех элементов этой деятельности;
Ограничения по времени, финансовым, материальным и трудовым ресурсам имеют особое значение в процессе выполнения комплекса работ;
продолжительность и стоимость деятельности явно зависит от организации всего комплекса работ.
Поэтому, объектом проектного управления принято считать особым образом организованный комплекс работ, направленный на решение определенной задачи или достижение определенной цели, выполнение которого ограничено во времени, а также связано с потреблением конкретных финансовых, материальных и трудовых ресурсов. При этом под “работой” понимается элементарная, неделимая часть данного комплекса действий.
Платежная матрица - это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.
В целом платежная матрица полезна, когда :
1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.
2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.
3. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.
Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность. Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события.
Подходы:
а) без учета численных значений вероятностей исходов
б) с учетом численных значений вероятностей исходов
После построения матрицы выбирается вариант действий, обеспечивает оптимальное значение критерия.
а) – Правила при выборе вариантов действий:
1)максимальное решение – максимизация максимума критерия. В качестве критерия прибыль или доход
2)максимальное решение – максимизация минимума критерия (критерий – прибыль или доход)
3)минимаксное решение – минимизация максимума критерия.
Минимаксное решение– средний по степени риска подход.
б) – все решения будут оптимистическими, т.к ориентированы на более благоприятный исход событий.
Подходы:
1)максимизация критериев
2)минимизация критериев
Платежная матрица с учетом вероятности исходов событий:
– вероятность i – того варианта исхода событий
– математическое ожидание критерия при выборе i – того варианта альтернатив действий
Алгоритм выбора решений:
1)Максимизация наиболее вероятных значений критерия
2)На основе правила максимальной вероятности минимизации наиболее вероятных значений критерия
3)На основе правила максимизации математического ожидания
4)На основе правила минимизации математического ожидания критерия.
35.Существование метода «Дерево решений».
Примеры подразумевают един.решение, однако на практике результат одного решения заставляет принимать следствие. Эту последовательность нельзя выразить платежной матрицей, поэтому, когда нужно принимать несколько решений, каждое из которых зависит от исходов предыдущего, используем схему «дерево решений».
Составляя «Дерево решений», можно нарисовать «ствол» и «ветви», отображающие структуру проблемы. Располагаются «деревья» слева направо. «Ветви» обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений, ветви выходят из узлов, которые бывают двух типов:
1.Квадратный узел обозначает место, где принимаются решения
2.Квадратный узел обозначает место, где проявляются различные варианты исходов квадрата.
Два вида «ветвей»:
Пунктирные линии, выходящие из квадратов возможных решений, движение по ним зависит от принятия решений. На соответствующей пунктирной «ветви» проставляются все расходы, вызванные решением.
Сплошные линии, выходящие из кружков возможных исходов, движение по ним определяется исходом событий. На сплошной линии указывается вероятность данного исхода.
Квадрат – узел принятия решения.
Круг – узел ветвления вариантов исходов событий.
Пунктир – ветви, движение по которым зависит от принимаемого решения
Линия – ветви, движение по которым зависит от исхода событий.
3 этапа поиска решений:
1.Строится «дерево», когда все решения и их исходы указаны на «дереве», просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется его денежный доход.
2.Вычисляется и проставляется на соответствующих «ветвях» вероятности каждого исхода.
3.Справа налево рассчитываются и проставляются денежные исходы каждого из узлов. Любые возникающие расходы вычитаются из ожидаемых доходов.
После того, как пройдены квадраты решений, выбирается «ветвь», ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая «ветвь» зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.
Так в конце третьего этапа оказывается сформированной последовательность решений, ведущая к максимальному доходу, в качестве критерия может выступать как максимизация математического ожидания, так и математическое ожидание потерь.
36.Особенности метода «Ранжирования решений» .
Данный метод предполагает 3 варианта стратегий: 1. осторожное (пессимистичное), 2. оптимистичное, 3.рациональное (рассчитано на среднее условие)
Известно, что метод платежной матрицы, без учета вероятности исхода, так же предполагает 3 варианта действий с точки зрения их рискованности.
Оптимистичной стратегией в методе платежной матрицы можно считать максимизационный подход, пессимистической - максимальный, а рациональный – минимаксный.
Суть пессимистической стратегии состоит в том, что ЛПР должно рассчитывать при выборе решения на худшее(решение не требует знания вероятности решения)
Оптимальное по критерию пессимизма решения определяется путем нахождения для каждого решения наихудшей оценки по всем ситуациям и последующ.выбором наилучшей из них (наилучшего из наихудшего решения).
Пример алгоритма выбора решения по критерию пессимизма .
Мы имеем n-вариантов действий, Aj и m – вариантов, Si – (события?).
Определен.ранги bij, для каждого из решения Aj (j=1+n).
В случае, если события будут развиваться по варианту Si в этом же этапе ранги могут быть выставлены либо индивидуально ЛПР, либо методом коллективной экспертной оценки. Результат ранжирования сводится в таблицу.
|
Варианты |
||||
|
Коэф-ты важности Kj | ||||
Коэф.важности Kj соответствует максимальному АО абсолютной величине значению ранга решения по всем ситуациям (наихудшая оценка). Kj=max bij по i.
Выбирается оптимальное решение, которое соответствует минимальному, по абсолютной величине, значению Kj всех решений (наилучшая оценка). А пессим.=min Kj по j.
Оптимистичной стратегии соответствует критерий оптимизма. В этом случае ЛПР должно рассчитывать на лучшее.
Оптимальное, по критерию оптимизма, решение определяется путем нахождения для каждого решения наилучшей оценки по всем ситуациям и последующим выборам наилучших из них (наилучшее решение). Правило выбора оптимального решения в дан.случае имеет вид: Kj=min bij по i, A =min Kj по j.
Рациональная стратегия реализации по критерию максимума среднего выигрыша.
ЛПР должно рассчитывать решение на наибольшую вероятность условия. Для реализации рациональной стратегии требуется знание вероятностей Pi исходов, событий Si.
Коэффициент важности в дан.случае представляет собой средний выигрыш, который получается при каждом решении по всем ситуациям.
|
Вар-т исход |
Вар.действий |
Вар-т исход. Р |
||
|
Коэф. важн.Kj | ||||
В данной матрице элементы величины α i и β j – соответственно минимальные значения элементов a ij по строкам и максимальные по столбцам.
Построение платежной матрицы – наиболее трудоемкий этап подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.
Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой – в виде матрицы рисков R, или матрицы потерь (упущенных возможностей) . Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей.
Риском r ij игрока А при использовании им стратегии А i , а игроком В – стратегии В j называют разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал, что игрок В выберет стратегию В j , и выигрышем, который игрок получил бы, не имея этой информации. Зная стратегию игрока В, игрок А выбирает вариант действий, при котором его выигрыш максимален, то есть r ij = β j – a ij , где при заданномj .
Рассмотрим способ построения матрицы рисков на примере (табл. 8.2, 8.3).
Таблица 8.2
Пример платежной матрицы
|
α i |
|||||
|
β j |
Согласно выведенным определениям r ij и β j получаем матрицу рисков.
Таблица 8.3
Матрица рисков
Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими.
В условиях неопределенности для определения наилучших решений могут быть использованы следующие критерии:
1. Критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма) . Позволяет определить стратегию, максимизирующую выигрыш игрока (М ):
.
Очевидно, что для матрицы выигрышей, представленной в табл. 8.2 , наилучшим решением будет А 1 , при котором достигается максимальный выигрыш – 9.
Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом "или пан, или пропал".
2. Критерий Вальда (критерий максимина) . Данный критерий позволяет максимизировать минимально возможный выигрыш:
.
Для стратегии
А
1
;
Для стратегии
А
2
;
Для стратегии
А
3
.
Соответственно W = 3, что соответствует стратегии А 2 игрока А.
Особенность максиминного критерия в том, что он ориентирует на выбор наиболее безопасного варианта. Это своего рода критерий для осторожного человека. Им главным образом следует пользоваться в тех случаях, когда действия направлены на удовлетворение жизненно важных потребностей и необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях. Он имеет в качестве недостатка неубедительность использования в разных условиях окружающей обстановки. Однако в тех случаях, когда действия направлены на удовлетворение жизненно важных потребностей и необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях, максиминный критерий в наибольшей степени соответствует существу задачи. Так или иначе, выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.
3. Критерий Сэвиджа (критерий минимакса) . Позволяет минимизировать максимальные потери. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрыша, а матрицей рисков:
Для матрицы рисков, представленной в табл. 8.3,
Для стратегии
А
1
;
Для стратегии
А
2
;
Для стратегии
А
3
.
Соответственно, S = 4, что соответствует стратегии А 1 игрока А.
Слабость данного критерия заключается в допущении, что результаты выбираются разумным противником, интересы которого прямо противоположны нашим собственным, то есть мы полагаем следующее: если применяемые правила принятия решений позволяют противнику извлечь какое-либо преимущество, то он обязательно это сделает. Однако если исключить вполне определенные условия конкурентной борьбы, то столь пессимистические допущения нельзя оправдать. Действительно, ведь результаты могут выбираться нерациональным "противником", а цели "противника" не обязательно полностью противоречат нашим собственным.
Критерий Гурвица (критерий обобщенного максимина или критерий пессимизма – оптимизма) . Был предложен с учетом недостатков указанных выше критериев. При выборе решения он рекомендует руководствоваться неким средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Критерий имеет следующий вид:
,
где р
– коэффициент пессимизма (
).
При р = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 – с критерием Вальда.
Покажем процедуру применения данного критерия для платежной матрицы при р = 0,4:
Для стратегии
А
1
;
Для стратегии
А
2
;
Для стратегии А 3 .
Тогда Н А = 6, что соответствует стратегии А 2 (для сравнения, при р = 0,3, оптимальной будет являться стратегия А 1).
Применительно к матрице рисков критерий Гурвица выглядит следующим образом:
,
Критерий Лапласа . В его основу положено предположение, что поскольку о вероятностях получения того или иного результата ничего неизвестно, то можно полагать их равновероятными. Поэтому оценка каждой i -й стратегии производится как среднее арифметическое в i -й строке (L):
Для представленной выше платежной матрицы:
Для стратегии
А
1
;
Для стратегии
А
2 
;
Для стратегии
А
3
.
Соответственно, L = 4,75, что соответствует стратегии А 1 .
В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию. Например, в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии.
Попытка сформулировать критерий оценки возможных решений в условиях неопределенности отражает стремление сделать более наглядными преимущества и недостатки каждого варианта действий в различной обстановке.
Как видно из представленных выше расчетов, использование различных критериев при решении одной задачи, как правило, приводит к получению неодинаковых результатов. Существует два подхода к выбору критериев для решения задач в условиях неопределенности. Первый из них – это разработка новых критериев или требований для выбора критерия принятия решения. Второй путь заключается в использовании любой, пусть самой скудной, информации о вероятностях реализации различных условий внешней среды (различных результатов, получаемых при реализации той или иной стратегии) или в проведении экспериментов с целью получения оценок этих вероятностей. Тем самым неопределенная задача становится вероятностной.
Оба пути трудоемки и, как правило, трудновыполнимы на практике, однако предпочтительнее все же второй путь. Первый путь приводит к поискам новых критериев для выбора лучшего из числа известных, затем – к поискам критериев для выбора из числа рассматриваемых и т. д. Иными словами, не существует критерия принятия решения, не основанного на оценках вероятностей, который удовлетворял бы определенным обоснованным требованиям "хорошего" критерия.
Ни один из предложенных методов выбора решений не является универсальным, способным удовлетворить любого ЛПР. Люди по-разному относятся к элементам риска, содержащимся в каждом решении. Один склонен рисковать в надежде добиться большего успеха, другой предпочитает всегда действовать осторожно. Разумеется, размеры риска, допускаемые в решении, зависят не только от характера ЛПР, но и от содержания целей.
Ученые считают, что правило минимаксных (осторожных) решений интуитивно применяется большинством руководителей в повседневной практике, в то время как стремление к максимуму ожидаемых результатов могло бы быть более эффективным для организации. Так, многие руководители предпочитают иметь на складах предприятия некоторые излишки запасов материалов, чем подвергаться риску возникновения простоев в производстве из-за перебоев в поставках.
В платежной матрице игры существует элемент, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Такой элемент называют седловой точкой. Седловая точка в игре имеет место тогда, когда наблюдается равенство α i = β j . При этом значение α i = β j V называют чистой ценой игры. В этом случае решение игры (совокупность оптимальных стратегий игроков) обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии. Поэтому для игры с седловой точкой минимаксные стратегии обладают устойчивостью.
В целом теория игр может рассматриваться как своеобразный методический инструмент для анализа ситуаций, характеризующихся конфликтом сторон и неопределенностью.
Однако в связи с отмеченными выше существенными ограничениями, лежащими в основе формализации игры, далеко не все реальные ситуации допускают такую формализацию, а полученные выводы в реальных ситуациях выглядят зачастую банальными (например, направить все ресурсы на наиболее эффективные операции) и могут требовать корректировки с позиций здравого смысла, диверсификации видов деятельности и т.д. Это снижает практическую эффективность игрового подхода в реальной деятельности.
