Нереальные фигуры в реальном мире. Невозможные фигуры в реальном мире. Изготовление моделей невозможных фигур по чертежам

08.06.2019

Невозможное – это то,
что не может существовать…
или случиться…

Цель урока: развитие объемного видения учащихся; умение объяснить невозможность существования той или иной фигуры с точки зрения геометрии; развитие интереса к предмету.

Оборудование: газета по материалам сайта "Невозможный мир" (Интернет), инструменты для построения фигур, геометрические фигуры, иллюстрации невозможных фигур.

Ход урока:

Вступительное слово:
На протяжении всей истории люди сталкивались с оптическими иллюзиями того или иного рода. Достаточно вспомнить мираж в пустыне, иллюзии создаваемые светом и тенью, а также относительным движением. Широко известен следующий пример: луна, поднимающаяся из-за горизонта, кажется гораздо больше, чем высоко в небе. Все это – лишь несколько любопытных явлений, которые встречаются в природе. Когда эти явления, обманывающие зрение и ум, были впервые замечены, они стали волновать воображения людей.

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Древние греки прибегали к оптическим иллюзиям, чтобы довести до совершенства внешний вид своих великих храмов. В эпоху Средневековья смещенную перспективу иногда использовали в живописи. Позднее многие другие иллюзии использовались в графике. Среди них единственный в своем роде и относительно новый вид оптической иллюзии известен как "невозможные объекты".

Одним из важных навыков для людей, работающих в технической сфере, является способность воспринимать трехмерные объекты в двухмерной плоскости. "Невозможные объекты" построены на использовании трюков с перспективой и глубиной в рамках двухмерного пространства. Невозможные в реальном трехмерном пространстве, они действуют на наше зрение, благодаря смещенной перспективе, манипуляциям с глубиной и плоскостью, обманчивым оптическим намекам, несоответствиям планов, игре света и тени, неясным соединениям, благодаря неправильным и противоречивым направлениям и связям, измененным точкам кода и другим "фокусам", к которым прибегает художник-график.

Намеренное использование невозможных объектов в дизайне встречалось еще в древние времена до появления классической перспективы. Художники пытались найти новые решения. Примером может служить датируемое XV веком изображение Благовещения на фреске собора Св. Марии в голландском городе Бреда. На картине изображен архангел Гавриил, приносящий Марии весть о ее будущем Сыне. Фреска обрамлена двумя арками, поддерживаемыми, в свою очередь тремя колоннами. Однако следует обратить внимание на среднюю колонну. В отличие от других, она исчезает на заднем плане за плитой. С практической точки зрения, художник использовал эту "невозможность" как особую технику, позволяющую избежать разделения сцены на две половины.

Пример такой арки приведен на рис. 1

"Невозможные фигуры" делятся на 4 группы. Попробуем сейчас разобрать основные фигуры из каждой группы. Итак, первая:

Ученик 1:

Удивительный треугольник – трибар.

Определите, что с точки зрения геометрии невозможно.

(С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но в общем эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.)

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара. Постарайтесь объяснить их невозможность.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Крылатый трибар

Тройное домино

Ученик 2:

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют "Бесконечной лестницей", "Вечной лестницей" или "Лестницей Пенроуза" – по имени ее создателя. Ее также называют "непрерывно восходящей и нисходящей тропой".

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

"Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии "Восхождение и нисхождение", созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками.

На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Попробуйте объяснить, какими свойствами пользовались создатели этой лестницы.

(Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии).

Предлагается посмотреть еще одну фигуру. Ступенчатая стена.

Ученик 3:

Следующая группа фигур под общим названием "Космическая вилка". С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов". Восприятие и разрешение (если это только возможно) несоответствия в этом новом типе двусмысленной фигуры требует настоящего сдвига зрительной фиксации. С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой". Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Башня с четырьмя колоннами-близнецами.

Ученик 4:

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве".

"Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "Невозможная коробка" (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.

Куб Неккера был впервые описан в 1832 году швейцарским кристаллографом Льюисом А. Неккером, который заметил, что кристаллы иногда зрительно меняют форму, когда на них смотришь. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Еще несколько невозможных фигур.

Учитель:

А теперь попробуйте самостоятельно создать какую-либо невозможную фигуру.

Урок заканчивается тем, что ученики пытаются самостоятельно изобразить невозможную фигуру.

Введение……………………………………………………………………………..2

Основная часть. Невозможные фигуры……………….…………………………4

2.1. Немного истории………………………………………………………….4

2.2. Виды невозможных фигур……………………………………………….6

2.3. Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры………………………..11

2.4. Невозможные фигуры – возможны!……………………………………..13

2.5. Применение невозможных фигур………………………………………14

Заключение………………………………………………………………………..15

Список литературы ………………………………………………………………16

Введение

С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотела узнать о них больше.

«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом. Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

«Невозможная фигура – это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение». Это один из видов оптических иллюзий , фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Передо мной встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Цели проекта:

1.Выяснить, к ак созд аются нереальные фигуры.

2. Найти области применения невозможных фигур.

Задачи проекта:

1.Изучить литературы по теме «Невозможные фигуры».

2 .Составить классификацию невозможных фигур.

3.Р ассмотреть способы построения невозможных фигур.

4.Создать невозмож ную фигуру.

Тема моей работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

Невозмож ные фигуры

Немного истории

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах – в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других – с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой “приходится” додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями. Вот перед нами школа. Наше внимание привлекает архитектурное сооружение на заднем плане, геометрическая противоречивость которого очевидна. Его можно интерпретировать и как внутреннюю стену комнаты, и как наружную стену здания, но обе эти интерпретации неправильны, поскольку мы имеем дело с плоскостью, одновременно являющуюся и внешней, и наружной стенкой, то есть на картине изображен типичный невозможный объект.

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Виды невозможных фигур.

“Невозможные фигуры” делятся на 4 группы. Итак, первая:

Удивительный треугольник – трибар.

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как “трехмерную прямоугольную структуру”. Она также получила название “трибар”. С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара.

Тройной деформированный трибар

Треугольник из 12 кубов

Крылатый трибар

Тройное домино

Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют “Бесконечной лестницей”, “Вечной лестницей” или “Лестницей Пенроуза” – по имени ее создателя. Ее также называют “непрерывно восходящей и нисходящей тропой”.

“Бесконечной лестницей” с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии “Восхождение и нисхождение”, созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.

Космическая вилка.

Следующая группа фигур под общим названием “Космическая вилка”. С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто “досадной ошибкой”. Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с “Сумасшедшим ящиком”. Первоначально автор назвал ее “Свободным ящиком” и заявил, что она была “сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве”.

“Сумасшедший ящик” – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником “Сумасшедшего ящика” была “Невозможная коробка” (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера.

Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Оскар Руте рсвард – отец невозможной фигуры .

«Отцом» невозможных фигур считается шведский художник Оскар Рутерсвард. Шведский художник Оскар Рутерсвард, специалист по созданию изображений невозможных фигур утверждал, что плохо разбирается в математике, но, тем не менее, возвел свое искусство в ранг науки, создав целую теорию создания невозможных фигур по определенному ряду шаблонов.

Он разделил фигуры на две основные группы . Один из них он назвал «истинные невозможные фигуры». Это двухмерные изображения трёхмерных тел, которые на бумаге можно раскрасить и нанести на них тени, но у них нет монолитной и стабильной глубины.

Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.

Истинная невозможная фигура состоит из фиксированного количества возможных элементов, а сомнительная «теряет» некоторое количество элементов, если за ними проследить глазами.

Один вариант этих невозможных фигур очень легко выполнить, и многие из тех, кто машинально чертит геометрические

фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой.

На рисунке мы видим три варианта сомнительных невозможных фигур. Слева трех-семибалочник, построенный из семи линий, в котором три балки превращаются в семь. Фигура в середине, построенная из трех линий, в которой одна балка превращается в два круглых бруса. Фигура справа, построенная из четырех линий, в которой два круглых бруса превращаются в две балки

За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2500 фигур. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.

Невозможные фигуры – возможны!

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги – это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций. Существует множество способов их создания. Один из них – использование кривых линий в качестве сторон невозможного треугольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута – создан реальный “невозможный ” объект.

Русский художник Анатолий Коненко, наш современник, разделил невозможные фигуры на 2 класса: одни можно смоделировать в реальности, а другие – нельзя. Модели невозможных фигур называются моделями Амес.

Я изготовила модель Амес своего невозможного ящика. Я взяла сорок два кубика и склеила их, получился куб, в котором часть ребра отсутствует. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.

Я изучила невозможные фигуры с применением теоремы Эйлера и пришла к следующему выводу: теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Я создаю свои невозможные фигуры, пользуясь советом О.Рутерсварда. Я начертила на бумаге семь параллельных отрезков. Соединила их снизу ломаной линией, а сверху придала им форму параллелепипедов. Посмотрите на нее сначала сверху потом снизу. Таких фигур можно придумать бесконечно много. См. приложение.

Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге “Omojliga figurer” об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

Невозможные фигуры вдохновили художников на создание целого нового направления в живописи, названного импоссибилизмом. К импоссибилистам относят голландского художника Эшера. Его перу принадлежат известные литографии «Водопад», «Восхождение и нисхождение» и «Бельведер». Художник использовал эффект “бесконечной лестницы”, открытый Рутесвардом.

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре - логотип автоконцерна «Рено »

Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.

Заключение .

Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ – что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так – то просто – он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного – все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

Изучив литературу по теме, я смогла ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я поняла, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создала модель Амес «Невозможного куба» и проверила на нем теорему Эйлера. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смогла нарисовать свои невозможные фигуры. Мне удалось показать, что

Вывод1: Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.

Вывод2: Теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.

Вывод3: Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Список литературы

Левитин Карл Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984, -176 с.

Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

Рисунок 1.

Это невозможный трибар. Данный рисунок не является иллюстрацией пространственного объекта, поскольку такой объект не может существовать. Наш ГЛАЗ принимает данный факт и сам объект без затруднений. Мы можем придумать ряд аргументов в защиту невозможности объектаю Например, грань C лежит в горизонтальной плоскости, в то время как грань A наклонена к нам, а грань B, наклонена от нас, и, если грани A и B расходятся друг от друга, они не могут встретиться в вершине фигуры, как это мы видим в данном случае. Мы можем отметить, что трибар образует замкнутый треугольник, все три балки перпендикулярны друг другу, и сумма его внутренних углов получается равной 270 градусам, что невозможно. Мы можем привлечь на помощь базовые принципы стереометрии, а именно то, что три непараллельные плоскости всегда встречаются в одной точке. Однако, на рисунке 1 мы видим следующее:

Темно-серая плоскость C встречается с плоскостью B; линия пересечения – l ;
Темно-серая плоскость C встречается со светло-серой плоскостью A; линия пересечения - m ;
Белая плоскость B встречается со светло-серой плоскость A; линия пересечения – n ;
Линии пересечения l , m , n пересекаются в трех разных точках.

Таким образом, рассматриваемая фигура не удовлетворяет одному из основных утверждений стереометрии, что три непараллельные плоскости (в данном случае A, B, C) должны встретиться в одной точке.

Резюмируем: какими бы ни были сложными или простымии ни были наши рассуждения, ГЛАЗ сигнализирует нам о противоречиях без каких-либо объяснений с его стороны.

Невозможный трибар парадоксален в нескольких отношениях. Глазу требуется доля секунды, чтобы передать сообщение: "Это замкнутый объект, состоящий из трех брусков". Мгновение спустя следует: "Этот объект не может существовать...". Третье сообщение может быть прочитано как: "... и, таким образом, первое впечатление было неверным". В теории такой объект должен распадаться на множество линий, не имеющих значимых отношений друг с другом и более не собирающихся в форму трибара. Однако этого не происходит, и ГЛАЗ сигнализирует снова: "Это объект, трибар". Короче говоря, заключение состоит в том, что это и объект и не объект, и в этом состоит первый парадокс. Обе интерпретации имеют одинаковую силу, как если бы ГЛАЗ оставил окончательный вердикт вышестоящей инстанции.

Вторая парадоксальная особенность невозможного трибара возникает из рассуждений о его конструкции. Если брусок A направлен к нам, а брусок B - от нас, и все же они стыкуются, то угол, который они формируют должен лежать в двух местах одновременно, один ближе к наблюдателю, а другой дальше. (То же самое применимо и к двух другим углам, так как объект остается идентичной формы при поворе другим углом вверх.)

Рисунок 2. Бруно Эрнст, фотография невозможного трибара, 1985
Рисунок 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", холст/масло, 100x140 см, 1985, напечатано наоборот
Рисунок 4. Дирк Хуизер, "Куб", irisated screenprint, 48x48 см, 1984

Реальность невозможных объектов

Один из самых трудных вопросов о невозможных фигурах касается их реальности: существуют ли они на самом деле или нет? Естественно, рисунок невозможного трибара существует, и это не подвергается сомнению. Однако, в то же время не вызывает сомнений, что представленная ГЛАЗом для нас трехмерная форма, как таковая, не существует в окружающем мире. По этой причине, мы решили говорить о невозможных объектах , а не о невозможных фигурах (хотя, под таким названием на английском языке они больше известны). Кажется, это удовлетворительное решение данной дилеммы. И все же, когда мы, например, исследуем внимательно невозможный трибар, его пространственная реальность продолжает смущать нас.

Столкнувшись с объектом в разобранном на отдельные части виде, практически невозможно поверить, что, просто соединяя друг другом бруски и кубики, можно получить желаемый невозможный трибар.

Рисунок 3 особенно привлекателен для специалистов по кристаллографии. Объект представляется медленно растущим кристаллом, кубы вставляются в имеющуюся кристаллическую решетку без нарушения общей структуры.

Фотография на рисунке 2 – реальна, хотя трибар, составленный из коробок для сигар и сфотографированный под определенным углом, – нереален. Это визуальная шутка, придуманная Роджером Пенроузом – соавтором первой статьи и невозможном трибаре.

Рисунок 5.

На рисунке 5 изображен трибар, составленный из пронумерованных блоков размером 1х1х1 дм. Простым подсчетом блоков мы можем выяснить что объем фигуры 12 дм 3 , и прощадь – 48 дм 2 .

Рисунок 6.
Рисунок 7.

Аналогичным способом мы можем подсчитать расстояние, которая пройдет божья коровка по трибару (рисунок 7). Центральная точка каждого бруска пронумерована, и направление движения отмечено стрелками. Таким образом, поверхность трибара представляется как длинная непрерывная дорога. Божья коровка должна совершить четыре полных круга, прежде чем вернется в исходную точку.

Рисунок 8.

Вы можете начать подозревать, что невозможный трибар имеет какие-то секреты на своей невидимой стороне. Но без труда можно нарисовать прозрачный невозможный трибар (рис. 8). В данном случае все четыре стороны видимы. Тем не менее, объект продолжает выглядеть вполне реальным.

Давайте зададим вопрос еще раз: что в действительности делает трибар фигурой, которая может интерпретироваться таким множеством способов. Надо помнить, что ГЛАЗ обрабатывает изображение невозможного объекта с сетчатки также, как и изображения обычных предметов - стула или дома. Результатом является "пространственное изображение". На этом этапе нет разницы между невозможным трибаром и обычным стулом. Таким образом, невозможный трибар существует в глубинах нашего мозга на том же самом уровне, что и всех остальные объекты, окружающие нас. Отказ глаза подтвердить трехмерную "жизнеспособность" трибара в реальности никоим образом не уменьшает факта присутствия невозможного трибара у нас в голове.

В главе 1 мы встретились с невозможным объектом, чье тело исчезало в никуда. В карандашном рисунке "Пассажирский поезд" (рис. 11) Fons de Vogelaere тонко воспользовался тем же принципом с усиленной колонной в левой части картины. Если мы проследим взглядом по колонне сверху вниз, или закроем нижнюю часть картины, то увидим колонну, которая поддерживается четырьмя опорами (из которых видны только две). Однако, если посмотреть снизу на ту же колонну, то увидим достаточно широкий проем, сквозь который может проехать поезд. Твердые каменные блоки в то же самое время оказываются... тоньше воздуха!

Данный объект достаточно прост для категоризации, но оказывается достаточно сложным, когда мы начинаем его анализировать. Исследователи, такие как Broydrick Thro, показали, что само описание данного явления приводит к противоречиям. Конфликт в одной из границ. ГЛАЗ сначала просчитывает контуры, а затем собирает из них фигуры. Путаница возникает, когда контуры имеют сразу два назначения в двух разных фигурах или частях фигуры, как на рисунке 11.

Рисунок 9.

Аналогичная ситуация возникает и на рисунке 9. В данной фигуре линия контура l проявляется и как граница формы A и как граница формы B. Однако, она не является границей обеих форм одновременно. Если ваши глаза посмотрят сначала на верхнюю часть рисунка, то, опускаясь взглядом вниз, линия l будет восприниматься, как граница формы A и будет оставаться такой до тех пор, пока не обнаружится, что A – открытая фигура. В этой точке ГЛАЗ предлагает вторую интерпретацию для линии l , а именно, что она является границей формы B. Если последуем взглядом обратно вверх по линии l , то мы снова вернемся к первой интерпретации.

Если бы это было единственной двусмысленностью, то мы могли бы говорить о пиктографической двойственной фигуре. Но заключение осложняется дополнительными факторами, такими как явление исчезновения фигуры на фоне заднего плана, и, в особенности, пространственным представлением фигуры ГЛАЗом. В связи с этим в можете уже по-другому взглянуть рисунки 7,8 и 9 из главы 1 . Хотя эти типы фигур проявляют себя как настоящие пространственные объекты, мы можем временно назвать их невозможными объектами и описать их (но не объяснить) в следующих общих понятиях: ГЛАЗ вычисляет на основе этих объектов две различные взаимоисключающие трехмерные формы, которые, тем не менее, существуют одновременно. Это можно видеть на рисунке 11 в том, что, как нам кажется, представляет собой монолитную колонну. Однако, при повторном осмотре, она представляется открытой, с просторным промежутком посередине, через который, как показано на рисунке, может проехать поезд.

Рисунок 10. Arthur Stibbe, "In front and behind", картон/акрил, 50x50 см, 1986
Рисунок 11. Fons de Vogelaere, "Пассажирский поезд", рисунок карандашом, 80x98 см, 1984

Невозможный объект как парадокс

Рисунок 12. Oscar Reutersvärd, "Perspective japonaise n° 274 dda", раскрашенный рисунок тушью, 74x54 см

В начале данной главы мы увидели невозможный объект, как трехмерный парадокс, то есть изображение, чьи стереографические элементы входят в противоречие друг с другом. Перед тем, как исследовать данный парадокс глубже, необходимо понять, существует ли такое явление как пикторафический парадокс. На самом деле он существует – подумайте о русалках, сфинксах и других сказочных существах, часто встречающихся в изобразительном искусстве Средних веков и раннего Возрождения. Но в данном случае не работа ГЛАЗа нарушается таким пиктографическим уравнением, как женщина+рыба=русалка, а наши знания (в частности, знания биологии), согласно которым такая комбинация недопустима. Только там, где пространственные данные на изображении с сетчатки взаимно противоречат друг другу, возникает сбой "автоматической" обработки данных ГЛАЗом. ГЛАЗ не готов обрабатывать настолько странный материал, и мы свидетельствуем новый для нас зрительный опыт.

Рисунок 13a. Harry Turner, рисунок из серии "Paradoxical patterns", смешанная техника, 1973-78
Рисунок 13b. Harry Turner, "Corner", смешанная техника, 1978

Мы можем разделить пространственную информацию, содержащуюся в изображении с сетчатки глаза (когда смотрим только одним глазом) на два класса – природный и культурный. Первый класс содержит информацию, на которую культурная среда человека не оказывает никакого влияния, и которая также обнаруживается на картинах. К такой истинной "неиспорченной природе" относится следующее:

Объекты одинакового размера выглядят тем меньше, чем дальше они находятся. Это основной принцип линейной перспективы, которая играет главную роль в изобразительном искусстве со времен Возрождения;
Объект, который частично загораживает другой объект, находится ближе к нам;
Объекты или части объекта, соединенные друг с другом, находятся на одинаковом расстоянии от нас;
Объекты, находящиеся сравнительно далеко от нас, будут менее различимы и будут скрыты голубой дымкой пространственной перспективы;
Та сторона объекта, на которую падает свет, ярче, чем противоположная сторона, и тени указывают в направлении противоположном источнику света.

Рисунок 14. Zenon Kulpa, "Невозможные фигуры", тушь/бумага, 30x21 см, 1980

В культурном окружении два следующих фактора играют важную роль в нашей оценке пространства. Люди создали свое жилое пространство таким, что в нем преобладают прямые углы. Наша архитектура, мебель и многие инструменты, по существу, составлены из прямоугольников. Можно сказать, что мы упаковали наш мир к прямоугольную систему координат, в мир прямых линий и углов.

Рисунок 15. Mitsumasa Anno, "Сечение куба"
Рисунок 16. Mitsumasa Anno, "Сложная деревянная головоломка"
Figure 17. Monika Buch, "Синий куб", акрил/дерево, 80x80 см, 1976

Таким образом, наш второй класс пространственной информации - культурный, ясен и понятен:

Поверхность – это плоскость, которая продолжается до тех пор, пока другие детали не сообщат нам, что она не закончилась;
Углы, в которых встречаются три плоскости, определяют три основных направления, в связи с чем, зигзагообразные линии могут указывать на расширение или сужение.

Рисунок 18. Tamas Farcas, "Кристалл", irisated print, 40x29 см, 1980
Рисунок 19. Frans Erens, акварель, 1985

В нашем контексте, различие между природным и культурным окружением очень полезно. Наше зрительное чувство развивалось в природном окружении, и также оно имеет поразительную способность точно и безошибочно обрабатывать пространственную информацию из культурной категории.

Невозможные объекты (по крайней мере, бóльшая их часть) существуют благодаря наличию взаимно противоречащих друг другу пространственных утверждений. Например, на картине Жоса де Мея "Double-guarded gateway to the wintery Arcadia" (рис. 20), плоская поверхность, образующая верхнюю часть стены распадается внизу на несколько плоскостей, находящихся на разном расстоянии от наблюдателя. Впечатление о разных расстояниях также формируется перекрывающимися частями фигуры на картине Arthur Stibbe "In front and behind" (рис. 10), которые противоречат правилу плоской поверхности. На акварельном рисунке Frans Erens (рис. 19), полка, изображенная в перспективе, уменьшающимся в размере концом сообщает нам, что она расположена горизонтально, уходя вдаль от нас, и она также прикреплена к опорам таким образом, чтобы находиться вертикально. На картине "The five bearers" Fons de Vogelaere (рис. 21) мы будем ошеломлены количеством стереографических парадоксов. Хотя в картине не содержится парадоксальных перекрытий объектов, в ней много парадоксальных соединений. Представляет интерес способ, которым центральная фигура соединена с потолком. Пять фигур, подпирающих потолок, соединяют парапет и потолок настолько большим количеством парадоксальных соединений, что ГЛАЗ отправляется в бесконечный поиск точки, с которой лучше рассматривать их.

Рисунок 20. Jos de Mey, "Double-guarded gateway to the wintery Arcadia", холст/акрил, 60x70 cm, 1983
Рисунок 21. Fons de Vogelaere, "The five bearers", рисунок карандашом, 80x98 см, 1985

Вы можете подумать, что при помощи каждого возможного типа стереографического элемента, который появляется на картине, относительно просто составить систематический обзор невозможных фигур:

Те, что содержат элементы перспективы, находящие во взаимном конфликте;
Те, в который элементы перспективы в конфликте с пространственной информацией, указанной перекрывающимися элементами;
и т.д.

Однако, мы вскоре обнаружим, что не сможем обнаружить существующие примеры для многих таких конфликтов, в то время как некоторые невозможные объекты будет трудно вписать в подобную систему. Тем не менее, такая классификация позволит нам обнаружить еще много до сих пор неизвестных типов невозможных объектов.

Рисунок 22. Shigeo Fukuda, "Images of illusion", screenprint, 102x73 см, 1984

Определения

В заключение данной главы давайте попытаемся дать определение невозможным объектам.

В моей первой публикации о картинах с невозможными объектами М.К. Эшера, которая появилась примерно в 1960 году, я пришел к следующей формулировке: возможный объект всегда может рассматриваться как проекция - представление трехмерного объекта. Однако, в случае невозможных объектов, не существует трехмерного объекта, чьим представлением является данная проекция, и в данном случае мы можем называть невозможный объект – иллюзорным представлением. Данное определение является не только неполным, но и неправильным (к этому мы еще вернемся в главе 7), так как оно относится только математической стороне невозможных объектов.

Рисунок 23. Oscar Reutersvärd, "Cubic organization of space", раскрашенный рисунок тушью, 29x20.6 cm.
В действительности данное пространство не является заполненным, так как кубы большего размера не связаны с кубами меньшего размера.

Зенон Кульпа предлагает следующее определение: изображение невозможного объекта – это двухмерная фигура, создающее впечатление существующего трехмерного объекта, причем эта фигура не может существовать так, как мы ее пространственно интерпретируем; таким образом, любая попытка создать его ведет к (пространственным) противоречиям, которые отчетливо видны зрителю.

Последнее замечание Кульпы предлагает один практический путь выяснения, является ли объект невозможным или нет: просто попробуйте создать его самостоятельно. Вы вскоре увидите, возможно даже до начала конструирования, что вы не сможете этого сделать.

Я предпочел бы определение, которое подчеркивает, что ГЛАЗ при анализе невозможного объекта приходит к двум противоречивым заключениям. Мне больше нравится именно такое определение, так как оно охватывает причину этих взаимно конфликтующих заключений, и, кроме этого, разъясняет тот факт, что невозможность – это не математическое свойство фигуры, а свойство интерпретации фигуры зрителем.

На основании этого я предлагаю следующее определение:

Невозможный объект обладает двухмерным представлением, которое ГЛАЗ интерпретирует как трехмерных объект, причем в то же время ГЛАЗ определяет, что данный объект не может быть трехмерным, так как пространственная информация, содержащаяся в фигуре, - противоречива.

Рисунок 24. Oscar Reutersväird, "Impossible four-bar with Crossbars"
Рисунок 25. Bruno Ernst, "Mixed illusions", фотография, 1985 Что такое невозможные фигуры?
Введя такой вопрос в поисковую систему, мы получим ответ: «Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве. (Википедия)»
Думаю, для представления и осознания этого понятия нам будет недостаточно такого ответа, поэтому попробуем лучше изучить этот вопрос. И начнем, пожалуй, с истории.

История
В старинной живописи можно встретить такое частое явление как искаженная перспектива. Именно она создавала иллюзию невозможности существования объекта. На картине Питера Брейгеля Старшего «Сорока на виселице» такой фигурой является сама виселица. Но в то время создание подобных «небылиц» — это был не полет фантазии, а скорее все же неумение строить правильно перспективу.

Большой интерес к невозможным фигурам проснулся в ХХ веке.

Шведский художник Оскар Рутесвард, увлеченный созданием чего-то парадоксального и противоречащего законам евклидовой геометрии, создал такие работы: составленный из кубов треугольник «Opus 1», а позже «Opus 2B».

В 50-х годах ХХ века вышла статья британского математика Роджера Пенроуза, посвящённая особенностям восприятия пространственных форм, изображённых на плоскости. Статья заинтересовала большой круг лиц: психологи стали изучать, как наш разум воспринимает такие явления, ученые взглянули на эти невозможные фигуры как на объекты с особыми топологическими характеристиками. Появился Имп-арт (impossible art) или импоссибилизм — направление в искусстве, в основе которого лежит создание оптических иллюзий и невозможных фигур.

Статья Пенроуза вдохновила Маурица Эшера создать несколько литографий, которые принесли ему известность как художнику-иллюзионисту. Одна из его самых известных работ «Относительность». Эшер изобразил модель «бесконечной лестницы» Пенроузов.

Рождер Пенроуз и его отец Лайонел Пенроуз изобрели лестницу, которая делает поворот на 90 градусов и замыкается. Поэтому человек, если бы ему вздумалось по ней взойти, не смог бы подняться выше. На рисунке ниже видно, что собака и человек стоят на одном уровне, что тоже добавляет рисунку невозможности. Если персонажи пойдут по часовой стрелке, то будут постоянно спускаться, а если против часовой — подниматься.

Нельзя не отметить невозможный куб Эшера, который кажется невозможным, потому что человеческому глазу свойственно воспринимать двумерные изображения как трёхмерные объекты (подробнее об Эшере можно почитать ).

А также классический пример невозможной фигуры — Трезубец. Он представляет собой фигуру с тремя круглыми зубцами на одном конце и прямоугольными — на другом. Такой эффект достигается за счет того, что трудно однозначно сказать, где тут передний план, а где задний.

В настоящее время процесс создания невозможных фигур продолжается. Ниже приведены некоторые из них (имя создателя -- под фигурой).

А также невозможно не отметить прекрасные невозможные фигуры, созданные нашим земляком, омичом Анатолием Коненко . Например:

А можно ли увидеть «невозможные фигуры» в реальной жизни?

Многие скажут, что невозможные фигуры действительно нереальны и не могут быть воссозданы. Другие же будут утверждать, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Так кто же прав?

Вторые будут ближе к правильному ответу. Действительно, увидеть «такие» фигуры в реальности можно, необходимо лишь смотреть на них с определенной точки. С помощью картинок ниж, можно убедиться в этом.

Джерри Андрус и его невозможный куб:

Невозможное сцепление шестеренок, тоже воплощенное в реальность Джерри Андрусом.

Скульптура Треугольника Пенроуза (г.Перт, Австралия), все стороны которого перпендикулярны друг другу.

А так скульптура выглядит с другой стороны.

Если вам нравятся невозможные фигуры, можно полюбоваться на них

Невозможные фигуры - особый вид объектов в изобразительном искусстве. Как правило их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире.

Более точно, невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые прозводят впечатление обычной проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры.

Невозможные фигуры выделяют в отдельный класс оптических иллюзий.

Невозможные конструкции известны с давних времен. Они встречаются в иконах со средних веков. "Отцом" невозможных фигур считается шведский художник Оскар Реутерсвард , который нарисовал невозможный треугольник, составленный из кубиков в 1934 году.

Известны широкой публике невозможные фигуры стали в 50-х годах прошлого века, после публикации статьи Роджера Пенроуза и Лайонела Пенроуза, в которой были описаны две базовые фигуры - невозможный треугольник (который также называют треугольником Пенроуза ) и бесконечная лестница. Эта статья попала в руки известного голландского художника М.К. Эшера , который вдохновленный идеей невозможных фигур создал свои знаменитые литографии "Водопад", "Восхождение и спуск" и "Бельведер". Вслед за ним огромное количество художников по всему миру стали использовать невозможные фигуры в своем творчестве. Наиболее известны среди них Жос де Мей, Сандро дель Пре, Оштван Орос. Работы этих, а также других художников, выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - " имп-арт " .

Может показаться, что невозможные фигуры действительно не могут существовать в трехмерном пространстве. Есть определенные способы, которые позволяют воспроизвести невозможные фигуры в реальном мире, правда они будут выглядет невозможными только с одной точки обзора.

Наиболее известными невозможными фигурами являются: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.

Статья из журнала Наука и жизнь "Невозможная реальность" скачать

Оскар Рутерсвард (принятое в русскоязычной литературе написание фамилии; правильнее Рёйтерсверд), (1 915 - 2002) - шведский художник, специализировавшийся в изображении невозможных фигур, то есть таких, которые можно изобразить, но нельзя создать. Одна из его фигур получила дальнейшее развитие как «треугольник Пенроуза».

С 1964 профессор истории и теории искусств в Лундском университете.

Большое влияние на Рутерсварда оказали уроки русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурге Михаила Каца. Первую невозможную фигуру - невозможный треугольник, составленный из набора кубиков, создал случайно в 1934. В дальнейшем за годы творчества нарисовал более 2500 различных невозможных фигур. Все они выполнены в параллельной «японской» перспективе.

В 1980 году шведским правительством была выпущена серия из трёх почтовых марок с картинами художника.

просмотров

Сохранить ВКонтакте